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第4讲二次根式
一、知识梳理
二次根式概念
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a 0.
3、最简二次根式、同类二次根式
概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
二次根式的性质
1．()2＝a(______)．
2．＝|a|＝
3．＝______(a≥0，b≥0)．
4．＝______(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
(2)二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3、把分母中的根号化去掉
(1)＝ (2)＝
二、题型、技巧归纳
考点1 二次根式概念
例1 使 有意义的x的取值范围是_____
技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
考点2 二次根式的性质
例2 已知实数x，y满＋＝，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
技巧归纳：1. 二次根式的非负性的意义；2. 利用二次根式的非负性进行化简．
例3、 12的负的平方根介于( )
A．－5与－4之间 B．－4与－3之间
C．－3与－2之间 D．－2与－1之间
技巧归纳：比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．
例4计算÷－×＋
技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．
考点3 二次根式的运算
例5 先化简，再求值·其中x＝
技巧归纳：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
例6 －＋2－＋
技巧归纳：按步骤进行，把分母中的根号化去掉，化简，再合并同类二次根式．
三、随堂检测
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知为实数，那么等于（ ）
A、 B、 C、－ 1 D、 0
4、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
5、估算的值在下列哪两个数之间 ( )
A、1和2 B、2和3 C、3和4 D、4和5
6、若为实数，且，则的值为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
参考答案
例1、 要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.
例2、 B
例3、 B
例4、 ÷－×＋＝－＋＝4－＋2＝4＋
例5、 解：原式＝·＝.
① 当x＋1＞0时，原式＝②当x＋1＜0时，原式＝－.
∵当x＝时，x＋1＞0，∴原式＝.
例6、
解：原式＝5－＋4－3＋
＝＋
＝＋.
随堂检测
1、C
2、D
3、D
4、D
5、C
6、B
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第4讲：二次根式
一、夯实基础
1．使有意义的x的取值范围是( )
A．x＞ B．x＞－ C．x≥ D．x≥－
2．已知y＝＋－3，则2xy的值为( )
A．－15 B．15 C．－ D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是( )
A．＝±5 B．4－＝1
C．÷＝9 D．·＝6
5．估计的值( )
A．在2到3之间 B．在3到4之间
C．在4到5之间 D．在5到6之间
二、能力提升
6．若x，y为实数，且满足|x－3|＋＝0，则2 012的值是__________．
7．有下列计算：①(m2)3＝m6，②＝2a－1，③m6÷m2＝m3，④×÷＝15，⑤2－2＋3＝14，其中正确的运算有__________．(填序号)
三、课外拓展
8．若＋(y－2 012)2＝0，则xy＝__________.
9．当－1＜x＜3时，化简：＋＝__________.
10．如果代数式有意义，则x的取值范围是________．
11、比较大小：⑴3 2 ⑵－ －
12、若最简根式与是同类二次根式，则m= .
13、若的整数部分是a，小数部分是b，则a－= 。
四、中考链接
14．（乳山）计算：(＋)(－)－|1－|.
15．（福州）计算：(－3)0－＋|1－|＋ .
参考答案
一、夯实基础
1．C 由题意得3x－1≥0，所以x≥.
2．A 由题意得2x－5≥0且5－2x≥0，解得x＝，此时y＝－3，所以2xy＝2××(－3)＝－15.
3．B ＝3，＝3，＝，＝.
4．D ＝5,4－＝4－3＝，÷＝＝3，·＝＝＝6.
5．B 因为3＝，4＝，＜＜，所以在3到4之间．
二、能力提升
6．1 由题意得x－3＝0，y＋3＝0，则x＝3，y＝－3，所以2 012＝(－1)2 012＝1.
7．①④⑤ ②＝＝|2a－1|，③m6÷m2＝m6－2＝m4，这两个运算是错误的．
三、课外拓展
8．1 因为由题意得x＋1＝0，y－2 012＝0，所以x＝－1，y＝2 012，所以xy＝(－1)2 012＝1.
9．4 原式＝＋＝|x－3|＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4.
10．x＞3
11.> >
12.6
13.－
四、中考链接
14．解：原式＝()2－()2－(－1)＝3－2－＋1＝2－.
15．解：原式＝1－3＋－1＋－＝－2.
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第4讲:二次根式
一、复习目标
1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质( )2＝a(a≥0)．
2．能用二次根式的性质 ＝|a|来化简根式．
3．能识别最简二次根式、同类二次根式．
4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质( )2＝a(a≥0)．
2.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
四、教学过程
（一）知识梳理
二次根式概念
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则a 0.
3、最简二次根式、同类二次根式
概念
我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．
同类二次根式的概念
几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
二次根式的性质
1．()2＝a(______)．
2．＝|a|＝
3．＝______(a≥0，b≥0)．
4．＝______(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算
1．二次根式的加减法
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
2．二次根式的乘除法
(1)二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
(2)二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3、把分母中的根号化去掉
(1)＝ (2)＝
（二）题型、方法归纳
考点1 二次根式概念
技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
考点2 二次根式的性质
技巧归纳：1. 二次根式的非负性的意义；2. 利用二次根式的非负性进行化简．
3、比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．
考点3 二次根式的运算
技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．2、此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
（三）典例精讲
例1 使 有意义的x的取值范围是_____
[解析]要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.
点析：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
例2 已知实数x，y满＋＝，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
解析：根据题意 x-4=0，y+8=0 解得x=4,y=8
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B；
例3、 12的负的平方根介于( )
A．－5与－4之间 B．－4与－3之间
C．－3与－2之间 D．－2与－1之间
答案：B
例4计算÷－×＋
解析：先做二次根式的乘除运算，并化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
解：÷－×＋＝－＋＝4－＋2＝4＋.
点析：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．
例5 先化简，再求值·其中x＝
解：原式＝·＝.
①当x＋1＞0时，原式＝②当x＋1＜0时，原式＝－.
∵当x＝时，x＋1＞0，∴原式＝.
点析：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
例6 －＋2－＋
解：原式＝5－＋4－3＋
＝＋
＝＋.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次根式概念、性质及二次根式的运算。
（五）随堂检测
1、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知为实数，那么等于（ ）
A、 B、 C、－ 1 D、 0
4、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
5、估算的值在下列哪两个数之间 ( )
A、1和2 B、2和3 C、3和4 D、4和5
6、若为实数，且，则的值为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
五、板书设计
概念 性质 运算规律
六、作业布置
二次根式课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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