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第5讲一元一次方程及其应用
一、知识梳理
一元一次方程解的概念
1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？
2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么？
一元一次方程是只指含有 未知数，且未知数的最高次数是 的方程。
它的标准形式是：
它的最简形式是：
3.什么是方程的解，什么是解方程？
解一元一次方程的一般步骤有哪些？它的根据是什么？
1、 ：不要漏乘分母为1的项。
2、 ：注意符号
3、 ：①将含有未知数的项移到等式的 一边；将常数项 移到另一边；②注意“变号”
4、 （乘法分配律的逆用）
5、 ：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
等式的性质
等式有哪些性质，并以字母形式表示出来
等式性质1：如果a=b，那么： a+c=
等式性质2：如果a=b，那么：ac= ，a/c= (c≠0)
二、题型、技巧归纳
考点一、考查一元一次方程解的概念
例1已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是
技巧归纳:主要是在考查方程的解的定义的基础上求方程中参数的值
例2．已知关于 x 的方程 2x＋a－9＝0 的解是 x＝2，则 a 的值为 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
例3、若 x＝2 是关于 x 的方程 2x＋3m－1＝0 的解，则 m 的值为______________．
技巧归纳:未知数的系数化为 1，就是在方程两边同时除以未知数的系数或同时乘未知数的系数的倒数．
考点二 含字母系数的一元一次方程
例4 解关于x的方程：
2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x
技巧归纳:含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝ 当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点三、求增长率问题
例5 2009年全国教育计划支出1980亿元，比2008年增加380亿元，则2009年全国教育经费增长率为 。
技巧归纳:在解这一类题目时关键要找好“单位1”
考点四、打折销售问题
例6某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）
A．80元 B．100元
C．120元 D．160元
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
考点五、利用一元一次方程
例7、儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的 4 倍？
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
三、随堂检测
1．在①；②；③；④中，等式有_____________，方程有_____________．
2．已知等式是关于x的一元一次方程，则m=____________．
3．当x= 时，代数式与代数式的值相等．
4．已知三个连续奇数的和是，则中间的那个数是_______．
5．某工厂引进了一批设备，使今年单位成品的成本较去年降低了．已知今年单位
成品的成本为元，则去年单位成品的成本为_______元．
6．小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，
则原方程的解为___________________________．
参考答案
例1解析：由题意知道方程的解是x=m,根据方程的解的定义，把代入方程得：，所以.
例2 D
例3 -1
例4原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2）
①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x
②当a＝0时，方程有无数个解；
③当a＝2时，方程无解．
例5解析：由题目条件知道2008年我国教育支出为1980-380=1600（亿元），所以可设2009年全国教育经费增长率为x%，则有：1600（1+x%）=1980。解得：x=23.75% ，所以2009年全国教育经费增长率为23.75%.
例6解析：在解本题时要先求出商品的标价，所以设商品的标价为x元，根据题意得：
，解得：x=200，又因为要以不低于进价20%价格才能出售所以最低价为200（1+20%）=240（元）。360-240=120(元) 想买下标价为360元的这种商品，最多降价120元商店老板才能出售，答案选C.
例7 解：假设在 x 年后父亲年龄恰好是儿子的 4 倍，可列方程40＋x＝4(13＋x)，解得 x＝－4.则 40－4＝36,13－4＝9,36÷9＝4.即 4 年前父亲年龄恰好是儿子的 4 倍．
随堂检测
1．②③④，②④
2．
3．
4．17
5．9.6
6．
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第5讲：一元一次方程及其应用
一、夯实基础
1.已知4x2n-5+5=0是关于x的一元一次方程，则n=_______.
2.若x=-1是方程2x-3a=7的解，则a=_______.
3.当x=______时，代数式 x-1和 的值互为相反数.
4.已知x的 与x的3倍的和比x的2倍少6，列出方程为________.
5.在方程4x+3y=1中，用x的代数式表示y，则y=________.
6.某商品的进价为300元，按标价的六折销售时，利润率为5%，则商品的标价为____元.
7.已知三个连续的偶数的和为60，则这三个数是________.
二、能力提升
8.方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解，则m的值为( ).
A.0 B.1 C.-2 D.
9.方程│3x│=18的解的情况是( ).
A.有一个解是6 B.有两个解，是±6 C.无解 D.有无数个解
10.某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%，则三月份的销售额比一月份的销售额( ).
A.增加10% B.减少10% C.不增也不减 D.减少1%
11．当x= 时，代数式的值是．
12．已知等式是关于x的一元一次方程，则m=____________．
13．当x= 时，代数式与代数式的值相等．
三、课外拓展
14.解方程： (x-1)- (3x+2)= - (x-1).
四、中考链接
15.一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数.
参考答案
一、夯实基础
1.3
2.-3 (点拨：将x=-1代入方程2x-3a=7，得-2-3a=7，得a=-3)
3. (点拨：解方程 x-1=- ，得x= )
4. x+3x=2x-6 5.y= - x
6.525 (点拨：设标价为x元，则 =5%，解得x=525元)
7.18，20，22
二、能力提升
8.D
9.B (点拨：用分类讨论法：当x≥0时，3x=18，∴x=6；当x<0时，-3=18，∴x=-6故本题应选B)
10.D
11．2 、
12．
13．
三、课外拓展
14.解：去分母，得15(x-1)-8(3x+2)=2-30(x-1)∴21x=63∴x=3
四、中考链接
15.解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2，百位上的数字为x+1，故 100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171解得x=3
答：原三位数是437.
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第5讲:一元一次方程及其应用
一、复习目标
1、准确地理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等概念。
2、熟练地掌握一元一次方程的解法。
3、能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解。
2、寻找等量关系，直接、间接设元。
四、教学过程
（一）知识梳理
一元一次方程解的概念
1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？
2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最简形式是什么？
一元一次方程是只指含有 未知数，且未知数的最高次数是 的方程。
它的标准形式是：
它的最简形式是：
3.什么是方程的解，什么是解方程？
解一元一次方程的一般步骤有哪些？它的根据是什么？
1、 ：不要漏乘分母为1的项。
2、 ：注意符号
3、 ：①将含有未知数的项移到等式的 一边；将常数项 移到另一边；②注意“变号”
4、 （乘法分配律的逆用）
5、 ：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
等式的性质
等式有哪些性质，并以字母形式表示出来
等式性质1：如果a=b，那么： a+c=
等式性质2：如果a=b，那么：ac= ，a/c= (c≠0)
（二）题型、方法归纳
考点一、考查一元一次方程解的概念
技巧归纳:1、主要是在考查方程的解的定义的基础上求方程中参数的值
2、未知数的系数化为 1，就是在方程两边同时除以未知数的系数或同时乘未知数的系数的倒数．
考点二 含字母系数的一元一次方程
技巧归纳:含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝ 当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点三、求增长率问题
技巧归纳:在解这一类题目时关键要找好“单位1”
考点四、打折销售问题
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
考点五、利用一元一次方程
技巧归纳:列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
（三）典例精讲
例1已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是
解析：由题意知道方程的解是x=m,根据方程的解的定义，把代入方程得：，所以.
例2．已知关于 x 的方程 2x＋a－9＝0 的解是 x＝2，则 a 的值为 ( D)
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
例3、若 x＝2 是关于 x 的方程 2x＋3m－1＝0 的解，则 m 的值为______-1_____．
例4 解关于x的方程：
2a(a－4)x＋4(a＋1)x－2a＝a2＋4x
原方程整理得：a（2a－4）x＝a（a＋2）
①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x
②当a＝0时，方程有无数个解；
③当a＝2时，方程无解．
含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝；当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
例5 2009年全国教育计划支出1980亿元，比2008年增加380亿元，则2009年全国教育经费增长率为 。
解析：由题目条件知道2008年我国教育支出为1980-380=1600（亿元），所以可设2009年全国教育经费增长率为x%，则有：1600（1+x%）=1980。解得：x=23.75% ，所以2009年全国教育经费增长率为23.75%.
点评：本题是一道和时事相结合的题目，主要考查了增长率问题的求法，在解这一类题目时关键要找好“单位1”。
例6某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
解析：在解本题时要先求出商品的标价，所以设商品的标价为x元，根据题意得：
，解得：x=200，又因为要以不低于进价20%价格才能出售所以最低价为200（1+20%）=240（元）。360-240=120(元) 想买下标价为360元的这种商品，最多降价120元商店老板才能出售，答案选C.
点评：打折销售问题一直是种考中的热点问题，充分考查了同学们的分析问题和解决问题的能力.
例7、儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的4倍？
解：假设在 x 年后父亲年龄恰好是儿子的4倍，可列方程40＋x＝4(13＋x)，解得x＝－4.则40－4＝36,13－4＝9,36÷9＝4.即 4 年前父亲年龄恰好是儿子的4倍．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元一次方程解的概念,等式的性质,一元一次方程的解法及其应用。
（五）随堂检测
1．在①；②；③；④中，等式有_____________，
方程有_____________．
2．已知等式是关于x的一元一次方程，则m=____________．
3．当x= 时，代数式与代数式的值相等．
4．已知三个连续奇数的和是，则中间的那个数是_______．
5．某工厂引进了一批设备，使今年单位成品的成本较去年降低了．已知今年单位成品的成本为元，则去年单位成品的成本为_______元．
6．小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则原方程的解为___________________________．
五、板书设计
概念 性质
六、作业布置
一元一次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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