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第6讲一次方程组及其应用
一、知识梳理
方程及相关概念
方程的概念 含有未知数的________叫做方程
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做_______，也叫它的________
解方程 求方程解的过程叫做________
一元一次方程的定义及解法
定义 只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程
一般形式 ________________
二元一次方程（组）的有关概念
二元一次方程 含有 未知数，并且所含有未知数的项的次数都是 的整式方程
二元一次方程的解 定义 适合一个二元一次方程的每一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．任何一个二元一次方程都有 组解
二元一次方程组的解 定义 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解
防错提醒 二元一次方程组的解应写成 的形式
二元一次方程组的解法
代入法 定义 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法
防错提醒 在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数
加减法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法
一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤
1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设 设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数
3.列 根据题意寻找等量关系列方程
4.解 解方程(组)
5.验 检验方程(组)的解是否符合题意
6.答 写出答案(包括单位)
常见的几种方程类型及等量关系
行程问题 基本量之间的关系 路程＝速度×时间
相遇问题 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题 若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程
流水问题 v顺＝____________ ，v逆＝____________
工程问题 基本量之间的关系 工作效率＝
其他常用关系量 (1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作“
二、题型、技巧归纳
考点1等式的概念及性质
例1 如图①，在第一个天平上，砝码A 的质量等于砝码B加上砝码C 的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C 的质量．请你判断：1个砝码A 与________个砝码C 的质量相等．
技巧归纳：运用1. 等式及方程的概念；2. 等式的性质
考点2一元一次方程的解法
例2、解方程＝
技巧归纳：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．
考点3二元一次方程(组)的有关概念
例3、已知是二元一次方程组 的解，则2m－n的算术平方根为( )
A．±2 B. C．2 D．4
技巧归纳：运用二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。
考点4二元一次方程组的解法
例4解方程组：
技巧归纳：(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．
(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．
考点5利用一次方程(组)解决生活实际问题
例5 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．
技巧归纳：利用二元一次方程组解决生活实际问题．
三、随堂检测
1．二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
2． “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )
A．x(1＋30%)×80%＝2080
B．x·30%×80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x
D．x·30%＝2080×80%
3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，则可列二元一次方程组为 ( )
A． B．
C． D．
4．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为 ( )
A.x＝1，y＝3 B.x＝3，y＝2 C.x＝4，y＝1 D.x＝2，y＝3
5．湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______．
6．方程组的解是_______．
参考答案
例1、2
例2、x＝－
例3、C
例4、
例5、[解析] (1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
(2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，便可列方程求解．
解：(1)设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，
投资收益率为×100%＝70%.
按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x.
∴ 投资收益率为×100%≈72.9%.
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
(2)由题意得0.7x－0.62x＝5，
解得x＝62.5(万元)．
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
随堂练习
1.D
2.A
3.B
4.B
5.3x＋5000＝20000
6.x＝1,y＝－3
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第6讲：一次方程组及其应用单元检测
一、夯实基础
1．已知x，y的值：① ② ③ ④其中是二元一次方程2x－y＝4的解的是( )．
A．① B．② C．③ D．④
2．与方程组有相同解的方程是( )．
A．x＋y＝3 B．2x＋3y＋4＝0
C．3x＋＝－2 D．x－y＝1
3．用加减法解方程组下列解法不正确的是( )．
A．①×3－②×2，消去x
B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x
D．①×2－②×(－3)，消去y
4．与方程3x＋4y＝16联立组成方程组的解是的方程是( )．
A．＋3y＝7 B．3x－5y＝7
C．－7y＝8 D．2(x－y)＝3y
5．给方程去分母，得( )．
A．1－2(2x－4)＝－(x－7)
B．6－2(2x－4)＝－x－7
C．6－2(2x－4)＝－(x－7)
D．以上答案均不对
二、能力提升
6．一元一次方程3x－6＝0的解是__________．
7．如果2xn－2－ym－2n＋3＝3是关于x，y的二元一次方程，那么m＝__________，n＝__________.
8．已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是__________．
9．代数式2a－10与3a互为相反数，则a＝__________.
三、课外拓展
10．已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值．
11．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了_______张．
12．若关于、的二元一次方程组的解满足﹥1，则的取值范围是 .
13.已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为 ( )
14.关于x、y的方程组的解是，则的值是 ( )
A．5 B．3 C．2 D．1
四、中考链接
15．某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元．”
小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
参考答案
一、夯实基础
1、B
2、C 点拨：方程组的解为然后代入后面的二元一次方程逐一验证即可．
3、D 点拨：可采用代入法解方程组，也可将选项代入尝试．
4、B 点拨：根据方程组解的定义，是方程组的解必是方程的解，所以把代入选项中的方程．
5、C
二、能力提升
6、x＝2
7、4 3 点拨：由题意得解得
8、2 点拨：互为相反数的和是0，即2a－10＋3a＝0，解得a＝2.
9、2
三、课外拓展
10、解：解方程组得
把代入方程组得解这个方程组得
11.20
12.k＞2
13.D
14.D
四、中考链接
15、解：(1)设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元．
由题意，列方程组解得
答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元、700元．
(2)九年级师生共需租金：5×900＋1×700＝5 200(元)．
答：按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金5 200元．
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第6讲:一次方程组及其应用
一、复习目标
1、了解一次方程、二元一次方程组的概念。知道方程组的解的含义。
2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、
3、运用化归思想，分析出解二元一次方程组的本质是消元。运用方程或方程组解决实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能正确的分析问题，从问题中找出已知量和未知量之间的数量关系
四、教学过程
（一）知识梳理
方程及相关概念
方程的概念 含有未知数的________叫做方程
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做_______，也叫它的________
解方程 求方程解的过程叫做________
一元一次方程的定义及解法
定义 只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程
一般形式 ________________
二元一次方程（组）的有关概念
二元一次方程组的解法
代入法 定义 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法
防错提醒 在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数
加减法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法
一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤
1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设 设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数
3.列 根据题意寻找等量关系列方程
4.解 解方程(组)
5.验 检验方程(组)的解是否符合题意
6.答 写出答案(包括单位)
常见的几种方程类型及等量关系
行程问题 基本量之间的关系 路程＝速度×时间
相遇问题 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题 若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程
流水问题 v顺＝____________ ，v逆＝____________
工程问题 基本量之间的关系 工作效率＝
其他常用关系量 (1)甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率；(2)通常把工作总量看作“
（二）题型、方法归纳
考点1等式的概念及性质
技巧归纳：运用1. 等式及方程的概念；2. 等式的性质
考点2一元一次方程的解法
技巧归纳：1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．
考点3二元一次方程(组)的有关概念
技巧归纳：运用二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。
考点4二元一次方程组的解法
技巧归纳：(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法． (2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．
考点5利用一次方程(组)解决生活实际问题
技巧归纳：利用二元一次方程组解决生活实际问题．
（三）典例精讲
例1 如图①，在第一个天平上，砝码A 的质量等于砝码B加上砝码C 的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C 的质量．请你判断：1个砝码A 与________个砝码C 的质量相等．
解析：依题意得 ,两个等式相加2A+B=B+4C,A=2C
例2、解方程＝
解：原方程可变形为＝；
去分母，得3(3x＋5)＝2(2x－1)；
去括号，得9x＋15＝4x－2；
得9x－4x＝－15－2；
合并，得5x＝－17；
得x＝－.
例3、已知是二元一次方程组 的解，则2m－n的算术平方根为( )
A．±2 B. C．2 D．4
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。由 是二元一次方程组 的解，根据二元一次方程组的解得定义，可得 ，解得 。所以2m-n=4 所以2m-n的算术平方根为2，故选C
例4解方程组：
例5 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．
[解析] (1)利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
(2)利用(1)的表示，根据二者的差是5万元，便可列方程求解．
解：(1)设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，
投资收益率为×100%＝70%.
按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x×10%×(1－10%)×3＝0.62x.
∴ 投资收益率为×100%≈72.9%.
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
(2)由题意得0.7x－0.62x＝5，
解得x＝62.5(万元)．
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一次方程(组）的概念和解法及一次方程的应用。
（五）随堂检测
1．二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
2． “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )
A．x(1＋30%)×80%＝2080
B．x·30%×80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x
D．x·30%＝2080×80%
3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，则可列二元一次方程组为 ( )
A． B．
C． D．
4．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为 ( )
A.x＝1，y＝3 B.x＝3，y＝2 C.x＝4，y＝1 D.x＝2，y＝3
5．湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______．
6．方程组的解是_______．
五、板书设计
概念 解题方法
六、作业布置
一次方程组及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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