第8讲分式方程及其应用
分式方程 概念 分母里含有________的方程叫做分式方程
增根 在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________
一、知识梳理
分式方程
分式方程的解法
分式方程的解法 基本思想 把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程
直接去分母法 方程两边同乘各分式的_______，约去分母，化为整式方程，再求根验根
分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
二、题型、技巧归纳
考点1分式方程的概念
例1 若分式方程2＋＝有增根，则k＝________.
技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．
考点2分式方程的解法
例2 解方程：
＋＝
技巧归纳:1．去分母法；2．换元法 ．3．注意解分式方程必须检验．
考点3分式方程的应用
例3为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？
例4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．
技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
三、随堂检测
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. B. C. D.
2. 如果关于x的方程
A. B. C. D. 3
3. 求x为何值时，代数式的值等于2？
4.徐州至上海的铁路里程为650 km.从徐州乘“G”字头列车A、“D” 字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5 h.
(1)设B车的平均速度为x km/h，根据题意，可列分式方程：
________________；
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
参考答案
例1、k＝1
例2、x＝
例3、解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树x棵．
根据题意，得－＝4.
解这个方程，得x＝30.
经检验x＝30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
例4、解：设甲组的速度为x km/h，
乙组的速度为2x km/h，根据题意，
得－＝，解得x＝6.
经检验，x＝6是方程的解．
∴甲组的速度为6 km/h，乙组的速度为12 km/h.
随堂检测
1、 B
2、 B
3、解：由已知得
的值等于2。
4、(1) －＝2.5
(2)解(1)中的方程－＝2.5去分母，得1300－650＝5x.移项，得－5x＝650－1300.合并同类项，得－5x＝－650.
系数化为1，得x＝130.
所以2x＝260，＝.
答：A车的平均速度为260 km/h，行驶时间为 h.
PAGE第8讲:分式方程及其应用
一、复习目标
1．分式方程的概念
2．分式方程的解法步骤及增根
3、用分式方程解实际问题的一般步骤
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
用分式方程解实际问题的一般步骤
四、教学过程
（一）、知识梳理
分式方程
分式方程 概念 分母里含有________的方程叫做分式方程
增根 在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________
分式方程的解法
分式方程的解法 基本思想 把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程
直接去分母法 方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根
分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
（二）题型、方法归纳
考点1分式方程的概念
技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．
考点2分式方程的解法
技巧归纳:1．去分母法；2．换元法 ． 3．注意解分式方程必须检验．
考点3分式方程的应用
技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
（三）典例精讲
例1、若分式方程2＋＝有增根，则k＝________.
[解析] ∵分式方程2＋＝有增根，
去分母，得2(x－2)＋1－kx＝－1，
整理得(2－k)x＝2，
当2－k≠0时，x＝；
当2－k＝0时，此方程无解，即此解不符合要求．
∵分式方程2＋＝有增根，
∴x－2＝0，2－x＝0，
解得x＝2，
即＝2，
解得k＝1.
例2 解方程：
＋＝
解：去分母，得3x＋x＋2＝4，解得x＝， 经检验： x＝是原方程的解．
例3为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？
解：设原计划每天种x棵树，实际每天种树x棵．
根据题意，得－＝4.
解这个方程，得x＝30.
经检验x＝30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
例4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．
解：设甲组的速度为x km/h，乙组的速度为2x km/h，根据题意，
得－＝，解得x＝6.经检验，x＝6是方程的解．
∴甲组的速度为6 km/h，乙组的速度为12 km/h.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握分式方程的概念、分式方程的解法及其应用。
（五）随堂检测
1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. B. C. D.
2. 如果关于x的方程
A. B. C. D. 3
3. 求x为何值时，代数式的值等于2？
4.徐州至上海的铁路里程为650 km.从徐州乘“G”字头列车A、“D” 字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5 h.
(1)设B车的平均速度为x km/h，根据题意，可列分式方程：
________________；
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
五、板书设计
概念 解法
六、作业布置
分式方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
PAGE第8讲：分式方程及其应用单元检测
一、夯实基础
1．如果分式的值相等，则x的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2．若关于x的方程=0有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程（ ）
4．已知方程有增根，则这个增根一定是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．方程的解是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
6．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题，得到的方程是（ ）
二、能力提升
7．方程的解是_______．
8．若关于x的方程-1=0无实根，则a的值为_______．
9．若x+=2，则x+=_______．
三、课外拓展
10．解方程：=1；
11.解方程：=3。
12. 解方程：
13. 解方程：
四、中考链接
14．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
15．怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由．
参考答案
一、夯实基础
1．A
2．B
3．C
4．B
5．D
6．B
二、能力提升
7．x=0
8．a=1
9．x2+=2
三、课外拓展
10．x=2
11.x=-
12.分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
解：原方程可变为
13.分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
因为其中的
经检验：是原方程的根。
四、中考链接
14．（1）解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
根据题意得：×20=1，
解之得：x=60，经检验：x=60是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．
（2）解：设两队合做完成这项工程需的天数为y天，
根据题意得：（）y=1，解得：y=24．
答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天
15．解：设甲独做x天完成，乙独做y天完成，
设甲每天工资a元，乙每天工资b元．
∴甲独做12×750=9000，乙独做24×250=6000，
∴节约开支应选乙公司．
PAGE
