第10讲 平面直角坐标系与函数
一、知识梳理
平面直角坐标系
坐标轴上的点 x轴、y轴上的点不属于任何象限
对应关系 坐标平面内的点与有序实数对是________对应的
平 面 内 点P(x，y) 的 坐 标 的特征 (1)各象限内点的坐标的特征 点P(x, y)在第一象限 __________ 点P(x, y)在第二象限 __________ 点P(x, y)在第三象限 __________ 点P(x, y)在第四象限 __________
(2)坐标轴上点的坐标的特征 点P(x, y)在x轴上 ________________ 点P(x, y)在y轴上 ________________ 点P(x, y)既在x轴上，又在y轴上 x、y同时为零，即点P的坐标为(0, 0)
平面直角坐标系内点的坐标特征
平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征 (1)平行于x轴 平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标 ，横坐标为不相等的实数
(2)平行于y轴 平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标 ，纵坐标为不相等的实数
各象限的平分线上的点的坐标特征 (1)第一、三象限的平分线上的点 第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标________
(2)第二、四象限的平分线上的点 第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标________
点到坐标轴的距离
到x轴的距离 点P (a，b)到x轴的距离等于点P的________________即______
到y轴的距离 点P (a，b)到y轴的距离等于点P的________________即______
平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
用坐标表示平移 点的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点______(或______)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点______或(______)
图形的平移 对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
某点的对称点的坐标 关于x轴 点P (x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为________ 规律可简记为：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号
关于y轴 点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为________
关于原点 点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为________
用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置 (1)平面直角坐标系法
(2)方位角＋距离
函数的有关概念
常量与变量 定义 在某一变化过程中，始终保持________的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量
关系 常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是：“在某一变化过程中”．同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定
函数的概念 函数定义 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数
函数值 对于一个函数，如果当自变量x＝a 时，因变量y＝b，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值
函数的表示方法
表示方法 (1)列表法 (2)图象法 (3)解析法
使用指导 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法
函数图象的概念及画法
概念 一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么平面直角坐标系内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象
画法步骤 (1)列表 (2)描点 (3)连线
二、题型、技巧归纳
考点1与平面直角坐标系有关的问题
例1 如图10－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是________．
技巧归纳：利用1．平面直角坐标系的概念2．求坐标系中点的坐标
考点2坐标平面内点的坐标特征
例2 在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．
技巧归纳：1. 四个象限内点的坐标特征；2. 坐标轴上的点的坐标特征；3. 平行于x轴，平行于y轴的直线上的点的坐标特征；4. 第一、三，第二、四象限的平分线上的点的坐标特征．
考点3关于x轴，y轴及原点对称的点的坐标特征
例3平面直角坐标系中，点(－3, 4)关于y轴对称的点的坐标是________．
技巧归纳：平面直角坐标系中，与点有关的对称关系常用的有3种：①关于x轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；③关于原点成中心对称的两点的坐标特点：横坐标和纵坐标都互为相反数．
考点4坐标系中的图形的平移与旋转
例4 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图10－2，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)、(－3，－1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是________．
技巧归纳：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．
考点5函数的概念及函数自变量的取值范围
例5、函数y＝1＋中自变量x的取值范围是__
技巧归纳：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数．此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.
三、随堂检测
1．点P在第二象限内，P点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________．
2．平面上的点与______________是一一对应的．
3．点（－3，－4）与坐标为________的点关于x轴对称，点（－5， ）与坐标为________的点关于y轴对称．
4．若＜0，则A（a，b）在第______象限内；若＞0时，则点B（－2a，3b）在第______象限内；点C（－2b，－a）在第______象限内．
5．过点（－，）且平行于y轴的直线上的点
A．横坐标都是－ B．纵坐标都是2
C．横坐标都是 D．纵坐标都是－
6．点A（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是
A．（－3，－2） B．（3，2）
C．（3，－2） D．（2，－3）
7、看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．
参考答案
例1、(2，2)
例2、m>2
例3、(3，4)
例4、(16，1＋)
例5、x≥2
随堂检测
1．（－4，3）
2．有序实数对
3．（－3，4） （5，）
4．二或四 二或四 一或三
5．A
6．B
7.小明的爷爷晚饭后出去散步，5分钟后到达离家2千米的公园，在公园里的健身器材处锻炼了6分钟，由于即将下雨，小明爷爷花了4分钟就赶回了家里．请问小明爷爷回家的速度比出去时的速度快多少？
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一、复习目标
(1）掌握点与坐标的一一对应关系，能在坐标系中根据坐标找到点，由点得坐标，掌握各象限的和坐标上的点的坐标符号规律。
（2）建立适当的坐标系，描述物体的位置，在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换。
（3）函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象的应用。二、课时安排
1课时
三、复习重难点
函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象的应用。
四、教学过程
（一）知识梳理
平面直角坐标系
坐标轴上的点 x轴、y轴上的点不属于任何象限
对应关系 坐标平面内的点与有序实数对是________对应的
平 面 内 点 P(x，y) 的 坐 标 的特征 (1)各象限内点的坐标的特征 点P(x, y)在第一象限 __________ 点P(x, y)在第二象限 __________ 点P(x, y)在第三象限 __________ 点P(x, y)在第四象限 __________
(2)坐标轴上点的坐标的特征 点P(x, y)在x轴上 ________________ 点P(x, y)在y轴上 ________________ 点P(x, y)既在x轴上，又在y轴上 x、y同时为零，即点P的坐标为(0, 0)
平面直角坐标系内点的坐标特征
平行于 坐标轴的直线上的点的坐标的特征 (1)平行于x轴 平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标 ，横坐标为不相等的实数
(2)平行于y轴 平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标 ，纵坐标为不相等的实数
各象限 的平分线上的点的坐标特征 (1)第一、三象限的平分线上的点 第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标________
(2)第二、四象限的平分线上的点 第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标________
点到坐标轴的距离
到x轴的距离 点P (a，b)到x轴的距离等于点P的________________即________
到y轴的距离 点P (a，b)到y轴的距离等于点P的________________即________
平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
用坐标表示平移 点的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点______(或______)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点______或(______)
图形的平移 对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
某点的对称点的坐标 关于x轴 点P (x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为________ 规律可简记为：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号
关于y轴 点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为________
关于原点 点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为________
用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置 (1)平面直角坐标系法
(2)方位角＋距离
函数的有关概念
常量与变量 定义 在某一变化过程中，始终保持________的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量
关系 常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是：“在某一变化过程中”．同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定
函数的概念 函数定义 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数
函数值 对于一个函数，如果当自变量x＝a 时，因变量y＝b，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值
函数的表示方法
表示方法 (1)列表法 (2)图象法 (3)解析法
使用指导 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法
函数图象的概念及画法
概念 一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么平面直角坐标系内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象
画法步骤 (1)列表 (2)描点 (3)连线
（二）题型、方法归纳
考点1与平面直角坐标系有关的问题
技巧归纳：利用1．平面直角坐标系的概念2．求坐标系中点的坐标
考点2坐标平面内点的坐标特征
技巧归纳：1. 四个象限内点的坐标特征；2. 坐标轴上的点的坐标特征；3. 平行于x轴，平行于y轴的直线上的点的坐标特征；4. 第一、三，第二、四象限的平分线上的点的坐标特征．
考点3关于x轴，y轴及原点对称的点的坐标特征
技巧归纳：平面直角坐标系中，与点有关的对称关系常用的有3种：①关于x轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；③关于原点成中心对称的两点的坐标特点：横坐标和纵坐标都互为相反数．
考点4坐标系中的图形的平移与旋转
技巧归纳：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．
考点5函数的概念及函数自变量的取值范围
技巧归纳：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数．此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.
（三）典例精讲
例1 如图10－1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是________．(2，2)
[解析] 过点B作BE⊥OE于E，由OC＝2，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，可求出 AC的长＝4，根据矩形的性质可得OB的长＝4，进而求出BE＝2，OE＝2，从而求出点B的坐标是(2，2)．
例2 在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．
[解析] 由第一象限内点的坐标的特点可得： 解得m＞2.
例3平面直角坐标系中，点(－3, 4)关于y轴对称的点的坐标是________．
[解析] 因为要求的点与点(－3, 4)关于y轴对称，所以它的横坐标是已知点的相反数，即3；而纵坐标不变，所以要求点的坐标是(3，4)．
点析：平面直角坐标系中，与点有关的对称关系常用的有3种：①关于x轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴成轴对称的两点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；③关于原点成中心对称的两点的坐标特点：横坐标和纵坐标都互为相反数．
例4 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换．如图10－2，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)、(－3，－1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是________．
点析：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．
例5、函数y＝1＋中自变量x的取值范围是__
[解析] 由题意，得2x－4≥0，解得x≥2.
点析：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数．此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标的特点及平面直角坐标系与函数的关系。
（五）随堂检测
1．点P在第二象限内，P点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________．
2．平面上的点与______________是一一对应的．
3．点（－3，－4）与坐标为________的点关于x轴对称，点（－5， ）与坐标为________的点关于y轴对称．
4．若＜0，则A（a，b）在第______象限内；若＞0时，则点B（－2a，3b）在第______象限内；点C（－2b，－a）在第______象限内．
5．过点（－，）且平行于y轴的直线上的点
A．横坐标都是－ B．纵坐标都是2
C．横坐标都是 D．纵坐标都是－
6．点A（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是
A．（－3，－2） B．（3，2）
C．（3，－2） D．（2，－3）
7、看图说故事．
请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．
五、板书设计
坐标特点
六、作业布置
平面直角坐标系与函数课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
PAGE第10讲：平面直角坐标系与函数单元检测
一、夯实基础
1．在平面直角坐标系中，点(1,2)位于第______象限．
2．已知点P(3,2)，则点P关于y轴的对称点P1的坐标是________，点P关于原点O的对称点P2的坐标是________．
3．在平面直角坐标系中，将点P(－2,1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是( )
A．(2,4) B．(1,5) C．(1，－3) D．(－5,5)
4．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O(0,0)，P(4,3)，将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为( )
A．(3,4) B．(－4,3) C．(－3,4) D．(4，－3)
5．函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≠－1 D．x≠0
二、能力提升
6．已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b,1－b)，则ab的值为____________．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有____________个．
8．如图3 1 14，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为( )
A．(－1，－) B．(－1，－)或(－2,0)
C．(－，－1)或(0，－2) D．(－，－1)
三、课外拓展
9．小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(单位：米)与时间x(单位：分钟)之间的关系的大致图象是( )
10．如图3 1 12，动点P从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )
A．(1,4) B．(5,0) C．(6,4) D．(8,3)
11．坐标平面上有一点A（a，b），若ab=0，则点A的位置是（ ）
A．原点 B．x轴上
C．y轴上 D．坐标轴上
12．点P（x，y）在第四象限，｜x｜=，｜y｜=，则点P坐标为（ ）
A．（，） B．（－，－）
C．（－，） D．（ ，－）
13．过点（－，）且平行于y轴的直线上的点（ ）
A．横坐标都是－ B．纵坐标都是2
C．横坐标都是 D．纵坐标都是－
14．点A（－3，2）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（－3，－2） B．（3，2）
C．（3，－2） D．（2，－3）
四、中考链接
15．如图3 1 15，已知A，B是反比例函数y＝(k>0，x>0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是( )
16．在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)……那么点A4n＋1(n为自然数)的坐标为______________(用n表示)．
参考答案
一、夯实基础
1．一
2.(－3,2) (－3，－2)
3.B
4.C
5．C
二、能力提升
6.25
7．8 解析：如图使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
8．B
三、课外拓展
9.C
10.D
11．D
12．D
13．A
14．B
四、中考链接
15.A
16．(2n,1)
解析：由图可知，当n＝0时，4×0＋1＝1，点A1(0,1)；
当n＝1时，4×1＋1＝5，点A5(2,1)；
当n＝2时，4×2＋1＝9，点A9(4,1)；
当n＝3时，4×3＋1＝13，点A13(6,1)，所以点A4n＋1(2n,1)．
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