第14讲二次函数的图象及其性质
一、复习目标
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．
3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。
四、教学过程
（一）知识梳理
二次函数的概念
定义 一般地，如果____________ (a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的结构特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0
二次函数的图象及画法
图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线
用描点法画 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
二次函数的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
图象
开口 方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小，简记左增右减
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝
二次项系数a的特性 的大小决定抛物线的开口大小；越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大
常数项c的意义 c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c
用待定系数法求二次函数的解析式
方法 适用条件及求法
1.一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值
2.顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式
3.交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式
（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数的定义
技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
考点2二次函数的图象与性质
技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为.
(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．
考点3二次函数的解析式的求法
技巧归纳：
二次函数的关系式有三种：
1．一般式y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．
（三）典例精讲
例1若是二次函数，则m＝( )
A．7 B．－1
C．－1或7 D．以上都不对
[解析] 让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0.
解得m＝7或－1，且m≠－1，
∴m＝7，故选A.
例2 (1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.
(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 －1 0 3 …
描点作图如下图．
(3)y1>y2.
(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋3＝2的根
例3 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解析式．
解：解法一：∵抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x＝＝－2，∴抛物线的顶点为P，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P，设一般式，设y＝ax2＋bx＋c，把A(－5，0)，B(1，0)，P的坐标代入，得
∴ 解得
∴ 所求抛物线的关系式为y＝－x2－2x＋.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数的概念、图象及画法及其性质。
（五）随堂检测
1、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2、设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=4.9t一3.5t2 (t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是 ( )
A. 0．71 s B 0．70 s C. 0．63 s D 0．36 s
4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
5、二次函数的最小值是 .
6、函数取得最大值时，______．
7、 已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为
五、板书设计
概念 图像 性质
六、作业布置
完成二次函数的图像及其性质课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
PAGE第14讲二次函数的图象及其性质
一、知识梳理
二次函数的概念
定义 一般地，如果____________ (a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的结构特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0
二次函数的图象及画法
图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线
用描点法画 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
考点3 二次函数的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
图象 ______________ ______________
开口 方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小，简记左增右减
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝
二次项系数a的特性 的大小决定抛物线的开口大小；越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大
常数项c的意义 c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即x＝0时，y＝c
用待定系数法求二次函数的解析式
方法 适用条件及求法
1.一般式 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a、b、c的值
2.顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式
3.交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式
二、题型、技巧归纳
考点1二次函数的定义
例1若是二次函数，则m＝( )
A．7 B．－1
C．－1或7 D．以上都不对
技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
考点2二次函数的图象与性质
例2
(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3变成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为.
(2)画抛物线y＝ax2＋bx＋c的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点．
考点3二次函数的解析式的求法
例3 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解析式．
技巧归纳：
二次函数的关系式有三种：
1．一般式y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1,0)，(x2,0)为抛物线与x轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．
三、随堂检测
1、已知二次函数y＝2(x－3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2、设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=4.9t一3.5t2 (t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是 ( )
A. 0．71 s B 0．70 s C. 0．63 s D 0．36 s
4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
5、二次函数的最小值是 .
6、函数取得最大值时，______．
7、 已知实数x、y满足x2－2x+4y=5，则x+2y的最大值为 .
参考答案
例1、A
例2、解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1.
(2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：
x … 0 1 2 3 4
y … 3 0 －1 0 3 …
描点作图如下图．
(3)y1>y2.
(4)如图，点C，D的横坐标x3，x4即为方程x2－4x＋3＝2的根
例3、∵抛物线与x轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x＝＝－2，∴抛物线的顶点为P，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P，设一般式，设y＝ax2＋bx＋c，把A(－5，0)，B(1，0)，P的坐标代入，得
∴ 解得
∴ 所求抛物线的关系式为y＝－x2－2x＋.
随堂检测
1、A
2、A
3、B
提示：利用顶点公式求解
4、12.5
提示：设分成x和（20-x）两段，则边长分别是和，得函数求最大值
5、－4
提示：利用顶点公式求解
6、
提示：先化为一般形式，再用顶点公式求解
7、
提示：由得，，，再利用顶点公式求解
PAGE第14讲：二次函数的图像及其性质
一、夯实基础
1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
2．若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x轴下方，则a，c应满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有( )
A. a>0,b>0 B. a>0,c>0 C. b>0,c>0 D. a、b、c都小于0
4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图2所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减少;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为( )
A.-7 B.1 C.17 D.25
二、能力提升
8.在同一坐标系内,抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B的坐标是_________.
9.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.
10.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_____.
三、课外拓展
11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.
12.当n=________,m=______时,函数y=(m+n)+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
13.若抛物线y=ax2+bx+c经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_________.
四、中考链接
14．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
15.有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大 (不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.A
3.C
4.B
5.C
6.C
7.D
二、能力提升
8.(0,0)
9.y=-4x2+16x-13
10.m>
三、课外拓展
11.y=-3x2-12x-9
12.2;2
13.-1四、中考链接
14．解：（1）画图如图所示：
依题意得：y=（x﹣1）2﹣2
=x2﹣2x+1﹣2
=x2﹣2x﹣1
∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1
（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2，
∴，即
∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）
由图可知，当x＜或x＞时，
二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．
15.解:设窗框的宽为x米,则窗框的高为 米.
则窗的面积S=x·=.
当x==1.2(米)时,S有最大值.
此时,窗框的高为 =1.8(米).
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