第15讲 二次函数与一元二次方程
一、知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 判别式Δ＝b2－4ac的符号 方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数
2个 Δ>0 两个________实根
1个 Δ＝0 两个________实根
没有 Δ<0 ________实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
字母的符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有惟一交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
二、题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
例3 如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示， 对称轴x＝ .下列结论中，正确的是( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
例5如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
三、随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 2x D.y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.
5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿ ,与x轴交于点 .
6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
参考答案
例1、(3，0)
例2、B
例3、
例4、D.
例5、解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，
由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
所以点G不在该抛物线上．
随堂检测
1、 D
2、 1，1
3、 16
4、 (0，2 ) (1，0)(2，0)
5、 (0，5) ( , 0 ) (-1，0)
6、 (-2，0)( , 0)
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一、夯实基础
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
3.(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4
4.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为___
5.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
6、下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点( )
A.y=(x-23)2+155 B.y=(x+23)2+155
C.y=-(x-23)2-155 D.y=-(x+23)2+155
二、能力提升
7.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2
8.(黔东南中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2 014的值为( )
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015
9.(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是( )
A.x＜2 B.x＞-3 C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1
10.(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，ax2+bx+c=m有实数根的条件是( )
A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≥0 D.m＞4
11.(济南中考)二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )
A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8
三、课外拓展
12.(济宁中考)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m
A.m13.抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为___.
四、中考链接
14.(南京中考)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
15.(孝感中考)已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0，x2<0；
(3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.
参考答案
一、夯实基础
1.A
2.B
3.D
4.8.
5.C
6.D
二、能力提升
7.C
8.D
9.C
10.B
11.C
12.A
13.(-3，0)，(2，0).
三、课外拓展
12.A
13.(-3，0)，(2，0).
四、中考链接
14.(1)∵(-2m)2-4(m2+3)=-12＜0，
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
15.(1)由题意可知：
Δ=［-(2k-3)］2-4(k2+1)>0，
即-12k+5>0，∴k<.
(2)∵k<，∴x1+x2=2k-3<0,
x1·x2=k2+1>0.
∴x1<0，x2<0.
(3)依题意，不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，
∵x1<0，x2<0，
∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1.
∵OA+OB=2OA·OB-3，
∴-(2k-3)=2(k2+1)-3.
解得k1=1，k2=-2.
∵k<，∴k=-2.
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一、复习目标
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号.
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题
二、课时安排1课时
三、复习重难点
1、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；
2、灵活运用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题
四、教学过程
（一）知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 判别式Δ＝b2－4ac的符号 方程ax2＋bx＋c＝0有实根的个数
2个 Δ>0 两个________实根
1个 Δ＝0 两个________实根
没有 Δ<0 ________实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
字母的符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b＝0 对称轴为y轴
ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有惟一交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图
（二）题型、技巧归纳
考点1二次函数与一元二次方程
技巧归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
考点2二次函数的图象的平移
技巧归纳：
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．
2．平移的变化规律可为：
(1)上、下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向下平移m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m.
(2)左、右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k；当抛物线y＝a(x－h)2＋k向右平移n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
考点3二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
技巧归纳：二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
考点4二次函数的图象与性质的综合运用
技巧归纳：
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
（三）典例精讲
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________．
[解析] 把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3，
所以原方程为y＝x2－4x＋3，
令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
例2 将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
[解析] 抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2－2.故选B.
例3 如图把抛物线y＝0.5x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．
[解析] 过点P作PM⊥y轴于点M.
∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3，得出二次函数的关系式为：y＝(x＋3)2＋h，
将(－6，0)代入，得0＝(－6＋3)2＋h，解得h＝－，
∴点P的坐标是，根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×＝.
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－4所示， 对称轴x＝ .下列结论中，正确的是( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
[解析] A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B项，∵对称轴x＝－＝－，∴a＝b，故本选项错误；C项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D项，∵对称轴为直线x＝－，图象与x轴的一个交点的横坐标x1的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x2＜－2，
∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正确．
故选D.
例5如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，
∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－(－1)＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，
由(2)可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为(3，2)，
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
所以点G不在该抛物线上．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系；会判断a、b、c的符号，会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
（五）随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 2x D.y=-2(x+1)2 - 3
2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.
3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点＿＿＿ ＿.
5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿ ,与x轴交于点 .
6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
五、板书设计
一般式
六、作业布置
二次函数与一元二次方程课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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