第16讲：二次函数的应用
一、夯实基础
1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．6米
2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ）
A．第9.5秒 B．第10秒 C．第10.5秒 D．第11秒
4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（ ）
A．y=（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣3）2 D．y=（x﹣3）2
5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．2s B．4s C．6s D．8s
6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．2米 B．5米 C．6米 D．14米
7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s
二、能力提升
9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 _________ 米．
10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 _________ ．
11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 _________ 元．
三、课外拓展
12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是 _________ ．
13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 _________ 米．
14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为 _________ 件（用含x的代数式表示）．
四、中考链接
15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
参考答案
一、夯实基础
1．D．
2．D．
3．C．
4．C．
5．B．
6．C．
7．B．
8．C．
二、能力提升
9. 米．
10. y=﹣（x+6）2+4
11. 25
三、课外拓展
12. （，5）
13. 2
14. （60+x）
四、中考链接
15. 解：（1）由题意，得
32﹣×4=80﹣2x．
答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；
（2）由题意，得
（x﹣20）（80﹣2x）=150，
解得：x1=25，x2=35．
∵x≤28，
∴x=25．
答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．
PAGE二次函数的应用
一、知识梳理
二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
二、题型、技巧归纳
考点1利用二次函数解决抛物线形问题
例1 如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点2二次函数在营销问题方面的应用
例2国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示：
(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？
(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；
(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．
技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
考点3数在几何图形中的应用
例3 如图在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大，试问x应取何值？
技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．
三、随堂检测
1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
参考答案
例1、（1）把x=0 ，y=2 ，及h=2.6代入到y=a（x-6）2+h即2=a（0－6）2+2.6，
∴
∴y= （x-6）2+2.6；
（2）当h=2.6时，y= （x-6）2+2.6
当x=9时，y= （9－6）2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网
当y=0 时，，
解得：
故会出界；
（3）当球正好过点（18 ，0 ）时，y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：，
此时球若不出边界，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9 ，2.43 ），y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2 ）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h ≥，
∵，
∴h ≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：。
例2 解：(1)120×150＝18000(元)．
答：今年老王种粮可获得补贴18000元．
(2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205，1000)，(275，1280)两点坐标代入，这样所求的y与x之间的函数关系式为y＝4x＋180.
(3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2＋2080x.
因为－4＜0，所以当x＝－＝－＝260(亩)时，W最大＝＝＝270400(元)．
答：当种粮面积为260亩时，总利润最高，最高总利润为270400元．
例3、1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ x cm，EF＝ a＝2x (cm)，
∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 cm，
V ＝a3＝(6)3＝432(cm3)．
(2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm，
则y＝x，h＝ ＝(12－x)，
∴S＝4yh＋y2 ＝4x·(12－x)＋(x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋384.
∵0随堂检测
1、解：(1)y＝－30x＋960；
(2)设每月的毛利润为w元．则
w＝(x－16)(－30x＋960)
＝－30x2＋1440x－960×16.
当x＝24时，w有最大值，w最大值＝1920元．
答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元．
解：(1)设上涨后，每件单价为x元，则
y＝(x－60)[300－10(x－80)]
＝(x－60)(300－10x＋800)
＝(x－60)(1100－10x)
＝－10x2＋1700x－66000，
即y＝－10x2＋1700x－66000.
(2)y＝－10x2＋1700x－66000
＝－10(x－85)2＋6250.
因为－10＜0，所以当x＝85时，y有最大值，y最大值＝6250.
即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为6250元．
PAGE第16讲: 二次函数的应用
一、复习目标
1、会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题；
2、在运用知识解决实际问题的过程中体会二次函数的应用意义和数学转化思想；
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、利用二次函数建立数学模型解决实际问题
2、根据题意进行相应形式的解设，进而求得相应的二次函数解析式。
四、教学过程
（一）知识梳理
二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
（二）题型、技巧归纳
考点1利用二次函数解决抛物线形问题
技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
考点2二次函数在营销问题方面的应用
技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
考点3二次函数在几何图形中的应用
技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．
（三）典例精讲
例1 如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
[解析]
(1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定系数法确定二次函数的关系式；
(2)要判断球是否过球网，就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x＝18时对应的函数值，并与0相比较．
(3)先根据函数图象过点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．
解：（1 ）把x=0 ，y=2 ，及h=2.6代入到y=a（x-6）2+h即2=a（0－6）2+2.6，
∴
∴y= （x-6）2+2.6；
（2）当h=2.6时，y= （x-6）2+2.6
当x=9时，y= （9－6）2+2.6=2.45＞2.43
∴球能越过网
当y=0 时，，
解得：
故会出界；
（3）当球正好过点（18 ，0 ）时，y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：，
此时球若不出边界，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9 ，2.43 ），y=a （x-6 ）2+h 还过点（0 ，2 ）点，代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h ≥，
∵，
∴h ≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：。
例2国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示：
(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？
(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；
(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．
解：(1)120×150＝18000(元)．
答：今年老王种粮可获得补贴18000元．
(2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205，1000)，(275，1280)两点坐标代入，这样所求的y与x之间的函数关系式为y＝4x＋180.
(3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2＋2080x.
因为－4＜0，所以当x＝－＝－＝260(亩)时，W最大＝＝＝270400(元)．
答：当种粮面积为260亩时，总利润最高，最高总利润为270400元．
例3 如图在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大，试问x应取何值？
解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ x cm，EF＝ a＝2x (cm)，
∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 cm，
V ＝a3＝(6)3＝432(cm3)．
(2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm，
则y＝x，h＝ ＝(12－x)，
∴S＝4yh＋y2 ＝4x·(12－x)＋(x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋384.
∵0（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题。（五）随堂检测
1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？
五、板书设计
二次函数的应用
六、作业布置
二次函数的应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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