第17讲：几何初步及平行线、相交线
一、夯实基础
1．如图1，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=______度．
（1） （2） （3）
2．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，且∠β的补角为______度．
3．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_______度．
4．如图2，点A、B、C在直线L上，则图中共有______条线段．
5．如图3，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF=_______度．
6．如图4，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．
7．如图5，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=_______度．
（4） （5） （6）
二、能力提升
8．如图6，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A．180° B．150° C．135° D．120°
9．已知：如图7，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
10．如图8，B是线段AC的中点，过点C的直线L与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
三、课外拓展
11．如图9，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
（7） （8） （9）
12．小颖在做下面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心将部分字迹污损了，作业过程如下（涂黑部分即污损部分）；
已知：如图所示，OP平分∠AOB，MN∥OB．
求证：OM=NM．
证明：因为OP平分∠AOB
所以 ▅▅▅▅
又因为MN∥OB
所以 ▅▅▅▅
故∠1=∠3
所以OM=NM．
小颖思考：污损部分应分别是以下四项中的两项：
①∠1=∠2 ②∠2=∠3 ③∠3=∠4 ④∠1=∠4
那么她补出来的结果应是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
四、中考链接
13．已知图中小方格的边长为1，求点C到线段AB的距离．
14．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
15．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2．
参考答案
一、夯实基础
1．130°
2．130°
3．120°
4．3
5．65°
6．35°
7．95°
二、能力提升
8．A
9．B
10．B
三、课外拓展
11．B
12．C
四、中考链接
13．4
14．连结AF，则AF=FC，AF=BF，∴BF=2CF
15．利用平行线内错角相等及等角的余角相等即可证明
PAGE第17讲几何初步与平行线、相交线
一、知识梳理
三种基本图形——直线、射线、线段
直线公理 经过两点有且只有________条直线
线段公理 两点之间，________最短
两点间的 距离 连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离
角
角的概念 定义1 有公共端点的两条____组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的____，这两条射线叫做角的____
定义2 一条射线绕着它的____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
角的分类 角按照大小可以分为平角、周角、____、____、钝角
角的大小比较 (1)叠合法 (2)度量法
角平分线 定义 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
性质 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
几何计数
1 数直线的 条数 过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画________条
2 数线段的 条数 线段上共有n个点(包括两个端点)时，共有线段________条
3 数角的 个数 从一点出发的n条直线可组成______个角
4 数交点的 个数 n条直线最多有________个交点
5 数直线分 平面的份数 平面内有n条直线，最多可以把平面分成________个部分
互为余角、互为补角
互为余角 定义 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余
性质 同角(或等角)的余角________
互为补角 定义 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补
性质 同角(或等角)的补角________
拓展 一个角的补角比这个角的余角大90°
邻补角、对顶角
邻补角定义 若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角
对顶角 定义 若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
性质 对顶角相等
“三线八角“的概念
同位角 如果两个角在截线l的同侧，且在被截直线a、b的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角
内错角 如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁 内角 如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角
平行
平行线的定义 在同一平面内，________的两条直线叫做平行线
平行公理 经过直线外一点，有且只有____条直线与这条直线______
平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相________
平行线的判定 同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质 两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
垂直
垂直 定义 如果两条直线相交成______，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做______
特别说明 (1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直
垂直的性质 在同一平面内，过一点有且只有______条直线与已知直线垂直
垂线段 定义 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做______
性质 直线外各点与直线上各点所连的线段中，______最短
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离
二、题型、技巧归纳
考点1线与角的概念和基本性质
例1 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( )
A．38° B．104°
C．142° D．144°
技巧归纳：根据对顶角相等求出度数，再根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后根据平角等于180°
考点2直线的位置关系
例2 如图17－2，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )
A．50° B．60°
C．70° D. 80°
技巧归纳：计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用．
考点3度、分、秒的计算
例3 已知∠α＝32°，求∠α的补角为( )
A．58° B．68° C．148° D．168°
技巧归纳：注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的地方．
考点4平行线的性质和判定的应用
例4 如图17－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
技巧归纳：
（1）平行线的判定:
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
（2）平行线的性质:
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
三、随堂检测
1、如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．
2、如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
3、（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（ ）
A．a-b B．a+b C．│a-b│ D．│a+b│
4、已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（ ）
A．3：4 B．2：3 C．3：5 D．1：2
5、如图，DE+AB=AD，∠1=∠E，求证：
（1）∠2=∠B；（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE∥AB．
参考答案
例1、C
例2、C
例3、C
例4、解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD；
②∠APC＝360°－(∠PAB ＋∠PCD)；
③∠APC＝∠PAB －∠PCD；
④∠APC＝∠PCD－∠PAB.
如证明① ∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.
又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，
所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
同理可证明其他的结论．
随堂检测
1、 180°
2、 B
3、 C
4、 A
5、 （1）∠1=∠EDE=DC可得到AB=AC，即证得∠2=∠B
（2）证∠1+∠2=90°，∠ECB=90°，再证∠D+∠A=180°即可．
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一、复习目标
1．运用两点确定一条直线解决实际问题．
2．会比较角的大小，掌握角的表示法，能进行角的有关计算．
3．明确线段、直线、射线的概念及区别与联系，线段的表示方法，会进行有关线段的计算．
4．掌握角平分线的定义及性质．
5．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算．
6．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
7．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理．
8．掌握两条直线垂直的概念．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1．掌握角平分线的定义及性质．
2．掌握两角互余、互补的概念，并能进行有关计算．
3．掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念．
4．掌握平行线的性质与判定，并能运用这些知识进行有关计算或推理．
四、教学过程
（一）知识梳理
三种基本图形——直线、射线、线段
直线公理 经过两点有且只有________条直线
线段公理 两点之间，________最短
两点间的 距离 连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离
角
角的概念 定义1 有公共端点的两条____组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的____，这两条射线叫做角的____
定义2 一条射线绕着它的____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角
角的分类 角按照大小可以分为平角、周角、____、____、钝角
角的大小比较 (1)叠合法 (2)度量法
角平分线 定义 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
性质 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
几何计数
1 数直线的条数 过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画________条
2 数线段的条数 线段上共有n个点(包括两个端点)时，共有线段________条
3 数角的个数 从一点出发的n条直线可组成______个角
4 数交点的个数 n条直线最多有________个交点
5 数直线分 平面的份数 平面内有n条直线，最多可以把平面分成________个部分
互为余角、互为补角
互为余角 定义 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余
性质 同角(或等角)的余角________
互为补角 定义 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补
性质 同角(或等角)的补角________
拓展 一个角的补角比这个角的余角大90°
邻补角、对顶角
邻补角定义 若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角
对顶角 定义 若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
性质 对顶角相等
“三线八角“的概念
同位角 如果两个角在截线l的同侧，且在被截直线a、b的同一方向叫做同位角(位置相同)．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角
内错角 如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内且交错)．∠2和∠8，∠3和∠5是内错角
同旁 内角 如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a、b之间(内)叫做同旁内角．∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角
平行
平行线的定义 在同一平面内，________的两条直线叫做平行线
平行公理 经过直线外一点，有且只有____条直线与这条直线______
平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相________
平行线的判定 同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质 两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
垂直
垂直 定义 如果两条直线相交成______，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做______
特别说明 (1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直
垂直的性质 在同一平面内，过一点有且只有______条直线与已知直线垂直
垂线段 定义 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做______
性质 直线外各点与直线上各点所连的线段中，______最短
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离
（二）题型、技巧归纳
考点1线与角的概念和基本性质
技巧归纳：根据对顶角相等求出度数，再根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后根据平角等于180°
考点2直线的位置关系
技巧归纳：计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用．
考点3度、分、秒的计算
技巧归纳：注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的地方．
考点4平行线的性质和判定的应用
技巧归纳：
（1）平行线的判定:
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
（2）平行线的性质:
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
（三）典例精讲
例1 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于( )
A．38° B．104°
C．142° D．144°
[解析] 根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算．
∵∠BOD＝76°，
∴∠AOC＝∠BOD＝76°.
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝×76°＝38°，
∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.
故选C.
例2 如图17－2，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )
A．50° B．60°
C．70° D. 80°
[解析] 依题意，∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°，故选C.
例3 已知∠α＝32°，求∠α的补角为( )
A．58° B．68° C．148° D．168°
[解析] ∵∠α＝32°，∴∠α的补角＝180°－32°＝148°.故选C.
例4 如图17－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD；
②∠APC＝360°－(∠PAB ＋∠PCD)；
③∠APC＝∠PAB －∠PCD；
④∠APC＝∠PCD－∠PAB.
如证明① ∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.
又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，
所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
同理可证明其他的结论．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行。
（五）随堂检测
1、如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．
2、如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
3、（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（ ）
A．a-b B．a+b C．│a-b│ D．│a+b│
4、已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（ ）
A．3：4 B．2：3 C．3：5 D．1：2
5、如图，DE+AB=AD，∠1=∠E，求证：
（1）∠2=∠B；（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE∥AB．
五、板书设计
性质 判定
六、作业布置
几何初步与平行线、相交线课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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