第18讲:三角形与多边形
一、复习目标
1、掌握三角形三边关系，会运用三角形三边关系解决问题．
2、探索并掌握三角形中位线的性质
3、了解多边形和正多边形的概念，会运用多边形的内角和、外角和公式解决问题.
4、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、探索并掌握三角形中位线的性质。
2、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌。
四、教学过程
（一）知识梳理
三角形概念及其基本元素
定义 由________直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形
基本元素 三角形有____条边，____个顶点，____个内角
三角形的分类
1．按角分：
三角形形
2．按边分：
三角形
三角形中的重要线段
重要线段 交点位置
中线 三角形的三条中线的交点在三角形的______部
角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部
高 ______三角形的三条高的交点在三角形的内部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
三角形的中位线
定义 连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线
定理 三角形的中位线______于第三边，并且等于它的______
总结 (1)一个三角形有三条中位线．(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3
三角形的三边关系
定理 三角形的两边之和____第三边
推理 三角形的两边之差____第三边
三角形的 稳定性 三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现
三角形的内角和定理及推理
三角形的内角和等于________
1.三角形的一个外角等于和它________________的和
2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角
3.直角三角形的两个锐角________
4.三角形的外角和为________
在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角
多边形
多边形的定义 在同一平面内，不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形
多边形的性质 内角和 n边形内角和____________
外角和 任意多边形的外角和为360°
多边形 对角线 n边形共有______条对角线
不稳定性 n边形具有不稳定性(n>3)
拓展 n边形的内角中最多有________个是锐角
正多边形 定义 各个角________，各条边________的多边形叫正多边形
对称性 正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形
平面图形的镶嵌
定义 用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________
平面镶嵌的条件 在同一顶点的几个角的和等于360°
常见形式 (1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形； ②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形； ③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌
常见形式 (3)用三种不同的正多边形镶嵌 用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m＋90n＋120k＝360，整理得______________，因为m、n、k为整数，所以m＝______，n＝________，k＝________，即用________块正方形，________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌
防错提醒 能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°
（二）题型、技巧归纳
考点1三角形三边的关系
技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．
考点2三角形的重要线段的应用
技巧归纳：三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理．
考点3三角形内角与外角的应用
技巧归纳：综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．
考点4多边形的内角和与外角和
技巧归纳：如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．
（三）典例精讲
例1 若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm，则其第三边的长可能为( )
A．2 cm B．3 cm
C．7 cm D．16 cm
[解析] 设第三边的长为x，根据三角形三边关系得9－6＜x＜9＋6，即3 cm＜x＜15 cm，符合条件的只有选项C.
例2 如图在△ABC中， D，E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE＝__________。
[解析] ∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC＝4.
例3 如图∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An. 设∠A＝θ.
则(1)∠A1＝________； (2)∠An＝________.
[解析] (1)根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可得解；
(2)与(1)同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解．
∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD.
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1,
∴(∠A＋∠ABC)＝∠A1BC＋∠A1，
∴∠A1＝∠A.
∵∠A＝θ，
∴∠A1＝；
(2)同理可得∠A2＝∠A1＝·θ＝，
所以∠An＝.
例4 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
[解析] 设这个多边形的边数为n，则180(n－2)＝1080，解得n＝8.故选C.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握了解多边形和正多边形的概念，会运用多边形的内角和、外角和公式解决问题.
（五）随堂检测
1、现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2、如图△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝________.
3、若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
五、板书设计
三角形 多边形
六、作业布置
三角形与多边形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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一、夯实基础
1、如图，ACBC，CDAB，DEBC，分别交BC，AB，BC于C，D，E： 下列说法中不正确的是（ ）
A、AC是ABC的高 B、DE是BCD的高
C、DE是ABE的高 D、AD是ACD的高
2、三角形三条高的交点一定在（ ）
A、三角形的内部 B、三角形的外部
C、三角形的内部或外部． D、三角形的内部、外部或顶点
3、适合条件的ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
4、直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角的度数是（ ）
A、 B、 C、或 D、不能确定
5、有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、能力提升
6、三角形三个内角的比为1：3：5，则最大的内角是_____度
7、如所示，写出的度数：
8、如图，在ABC中，BD平分，如果，那么
9、按图所示的条件，则
10、两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是
三、课外拓展
11、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（ ）
A、5条 B、6条 C、 7条 D、8条
12、如图，BE，CF是ABC的角平分线，那么BOC等于（ ）
A、 B、 C、 D、
13、在ABC中，比大，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
四、中考链接
14、如图，，求；
15、已知ABC中，比2大，比2少，求各角的度数．
参考答案
一、夯实基础
1、C
2、D
3、B
4、C
5、C
二、能力提升
6、
7、65 70 110
8、108
9、108 36
10、4或6
三、课外拓展
11、C
12、A
13、B
四、中考链接
14、n=4
15、
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一、知识梳理
三角形概念及其基本元素
定义 由________直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形
基本元素 三角形有____条边，____个顶点，____个内角
三角形的分类
1．按角分：
三角形形
2．按边分：
三角形
三角形中的重要线段
重要线段 交点位置
中线 三角形的三条中线的交点在三角形的______部
角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部
高 ______三角形的三条高的交点在三角形的内部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
三角形的中位线
定义 连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线
定理 三角形的中位线______于第三边，并且等于它的______
总结 (1)一个三角形有三条中位线．(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3
三角形的三边关系
定理 三角形的两边之和____第三边
推理 三角形的两边之差____第三边
三角形的稳定性 三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现
三角形的内角和定理及推理
三角形的内角和等于________
1.三角形的一个外角等于和它________________的和
2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角
3.直角三角形的两个锐角________
4.三角形的外角和为________
在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角
多边形
多边形的定义 在同一平面内，不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形
多边形的性质 内角和 n边形内角和____________
外角和 任意多边形的外角和为360°
多边形 对角线 n边形共有______条对角线
不稳定性 n边形具有不稳定性(n>3)
拓展 n边形的内角中最多有________个是锐角
正多边形 定义 各个角________，各条边________的多边形叫正多边形
对称性 正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形
平面图形的镶嵌
定义 用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________
平面镶嵌的条件 在同一顶点的几个角的和等于360°
常见形式 (1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形 (2)用两种正多边形镶嵌 ①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形； ②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形； ③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌
常见形式 (3)用三种不同的正多边形镶嵌 用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m＋90n＋120k＝360，整理得______________，因为m、n、k为整数，所以m＝______，n＝________，k＝________，即用________块正方形，________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌
防错提醒 能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°
二、题型、技巧归纳
考点一：三角形三边的关系
例1 若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm，则其第三边的长可能为( )
A．2 cm B．3 cm
C．7 cm D．16 cm
技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．
考点2三角形的重要线段的应用
例2 如图在△ABC中， D，E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE＝__________。
技巧归纳：三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理．
考点3三角形内角与外角的应用
例3 如图∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An. 设∠A＝θ.
则(1)∠A1＝________； (2)∠An＝________.
技巧归纳：综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．
考点4多边形的内角和与外角和
例4 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
技巧归纳：如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．
三、随堂检测
1、现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2、如图△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝________.
3、若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案
例1、C
例2、4
例3、∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD.
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1,
∴(∠A＋∠ABC)＝∠A1BC＋∠A1，
∴∠A1＝∠A.
∵∠A＝θ，
∴∠A1＝；
(2)同理可得∠A2＝∠A1＝·θ＝，
所以∠An＝.
例4、C
随堂检测
1、 四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.
2、 过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D、E、F.因为PB是∠ABC的平分线，所以PE＝PD，同理：PD＝PF，所以PE＝PF，所以AP是∠EAC的平分线．利用三角形的外角和内角和定理，得∠BPC＝∠BAC，∴∠BAC＝2×40°＝80°.
所以∠CAP＝(180°－∠BAC)＝(180°－80°)＝50
3、 三角形的内角和为180°，四边形的内角和是360°，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外角和是360°与边数无关，所以选择A.
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