第19讲:全等三角形
一、夯实基础
1.已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于( )
A.40° B.60° C.80° D.90°
2.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E
C.BC∥EF D.∠A=∠EDF
3.在△ADB和△ADC中,下列条件:①BD=DC,AB=AC;②∠B=∠C,∠BAD=∠CAD;③∠B=∠C,BD=DC;④∠ADB=∠ADC,BD=DC.能得出△ADB≌△ADC的序号是__________.
4.如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BE=CD.
5.如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=CD,延长线段CB到E,使BE=AD,连接AE,AC.
(1)求证:△ABE≌△CDA;
(2)若∠DAC=40°,求∠EAC的度数.
二、能力提升
6.如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12 m,那么AB间的距离不可能是( )
A.5 m B.15 m
C.20 m D.28 m
7.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为( )
A.2 B.4
C.3 D.4
8.如图,在△ABC中,∠A=80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD=150°,则∠B=__________.
9.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A.AB=AC B.BD=CD
C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA
10.下面的命题中,真命题是( )
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等
三、课外拓展
11.如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大,若∠A减少α度,∠B增加β度,∠C增加γ度,则α,β,γ三者之间的等量关系是__________.
12.如图所示,三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=20°,则∠2的度数为__________.
13.如图,点B,C,F,E在同一直线上,∠1=∠2,BC=FE,∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是__________(只需写出一个).
四、中考链接
14.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:AB=FC.
15.如图,点A,B,D,E在同一直线上,AD=EB,BC∥DF,∠C=∠F.求证:AC=EF.
参考答案
一、夯实基础
1.A 设∠A=x,则∠B=2x,∠C=x+20°,则x+2x+x+20°=180°,解得x=40°,即∠A=40°.
2.B由已知可得两个三角形已有两组边对应相等,还需要另一组边对应相等或夹角对应相等,只有B能满足条件.
3.①②④ 由题意知AD=AD,条件①可组成三边对应相等,条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等,条件④可组成两边及其夹角对应相等,这三个条件都可得出△ADB≌△ADC,条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等,不能得出△ADB≌△ADC.
4.证明:∵在△ABE和△ACD中,∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(ASA).∴BE=CD.
5.(1)证明:在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠ABE=∠BAD,∠BAD=∠CDA.
∴∠ABE=∠CDA.
在△ABE和△CDA中,
∴△ABE≌△CDA.
(2)解:由(1)得∠AEB=∠CAD,AE=AC,∴∠AEB=∠ACE.
∵∠DAC=40°,∴∠AEB=∠ACE=40°.
∴∠EAC=180°-40°-40°=100°.
二、能力提升
6.D 由三角形三边关系知16-12<AB<16+12,故选D.
7.B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC,所以DF=CD.
8.70°
9. B
10.D
三、课外拓展
11.α=β+γ
12.60° ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠CDE+∠CED+∠C=180°,
∴∠A+∠B=∠CDE+∠CED.
∴∠A+∠B+∠CDE+∠CED=2(∠A+∠B)=280°.
∵∠1+∠2+∠CDE+∠CED+∠A+∠B=360°,
∴∠1+∠2=360°-280°=80°.
又∵∠1=20°,∴∠2=60°.
13.不是 ∠B=∠E(答案不唯一)
四、中考链接
14.证明:∵FE⊥AC于点E,∠ACB=90°,
∴∠FEC=∠ACB=90°.
∴∠F+∠ECF=90°.
又∵CD⊥AB于点D,
∴∠A+∠ECF=90°.
∴∠A=∠F.
在△ABC和△FCE中,
∴△ABC≌△FCE.∴AB=FC.
15.证明:∵AD=EB,
∴AD-BD=EB-BD,即AB=ED.
又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB.
∴∠ABC=∠EDF.
又∵∠C=∠F,
∴△ABC≌△EDF.
∴AC=EF.
PAGE第19讲 全等三角形
一、知识梳理
全等图形及全等三角形
全等图形 能够完全重合的两个图形就是______ 全等图形的形状和________完全相同
全等三角形 能够完全重合的两个三角形就是全等三角形
说明 完全重合有两层含义: (1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等
全等三角形的性质
性质1 全等三角形的对应边________
性质2 全等三角形的对应角________
性质3 全等三角形的对应边上的高________
性质4 全等三角形的对应边上的中线________
性质5 全等三角形的对应角平分线________
全等三角形的判定
基本判 定方法 1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)
2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____ )
拓展延伸 满足下列条件的三角形是全等三角形: (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等; (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等; (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等; (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等; (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等; (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等
总结 判定三角形全等,无论哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等
利用“尺规”作三角形的类型
1 已知三角形的三边,求作三角形
2 已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
3 已知三角形的两角及其夹边,求作三角形
4 已知三角形的两角及其其中一角的对边,求作三角形
5 已知直角三角形一条直角边和斜边,求作三角形
角平分线的性质与判定
性质 角平分线上的点到角两边的______相等
判定 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上
二、题型、技巧归纳
考点一:全等三角形性质与判定的综合应用
例1 已知:AB=AE,∠1=∠2,∠B =∠E,求证:BC=ED.
技巧归纳:
1.解决全等三角形问题的一般思路:①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;
2.轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;
3.利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.
考点2全等三角形开放性问题
例2如图在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是________.(不添加辅助线)
技巧归纳:
由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.
三、随堂检测
1、已知:如图19-2,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线.求证:AB=DC.
2、在△ABC中,AB=CD,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
3、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长,为什么?
4、如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )
A.PO B.PQ
C.MO D.MQ
参考答案
例1证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD.
∴在△BAC与△EAD中,
∴△BAC≌△EAD,∴BC=ED.
例2(1)添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).
(2)证明:在△BDF和△CDE中,
∵
∴△BDF≌△CDE
随堂检测
1、 证明:∵AC平分∠BDC,BD平分∠ABC
∴∠ACB=∠DBC
在△ABC与△DCB中
∠ABC=∠DCB
BC=BC
∠ACB=∠DBC
△ABC≌△DCB
∴AB=DC
2、解:(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
3、[解析] 根据题意,有CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,根据ASA可以证明△ABC≌△EDC.
解:因为AB⊥BF,DE⊥BF,B、D分别为垂足,
所以∠ABC=∠EDC=90°.
又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD,
所以△ABC≌△EDC.
所以AB=ED.
PAGE第19讲:全等三角形
一、复习目标
1、理解全等形、全等三角形的定义,掌握全等三角形的性质与判定方法。
2、能正确、恰当选用三角形全等的条件推证三角形全等、角相等、线段相等的问题。
3、理解角平线的性质定理和判定定理。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、全等三角形的性质与判定
2、综合运用全等三角形的性质与判定证题
四、教学过程
(一)知识梳理
全等图形及全等三角形
全等图形 能够完全重合的两个图形就是______ 全等图形的形状和_______完全相同
全等三角形 能够完全重合的两个三角形就是全等三角形
说明 完全重合有两层含义: (1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等
全等三角形的性质
性质1 全等三角形的对应边________
性质2 全等三角形的对应角________
性质3 全等三角形的对应边上的高________
性质4 全等三角形的对应边上的中线________
性质5 全等三角形的对应角平分线________
全等三角形的判定
基本判 定方法 1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)
2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____ )
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____ )
拓展延伸 满足下列条件的三角形是全等三角形: (1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等; (2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等; (3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等; (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等; (5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等; (6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等
总结 判定三角形全等,无论哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等
利用“尺规”作三角形的类型
1 已知三角形的三边,求作三角形
2 已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
3 已知三角形的两角及其夹边,求作三角形
4 已知三角形的两角及其其中一角的对边,求作三角形
5 已知直角三角形一条直角边和斜边,求作三角形
角平分线的性质与判定
性质 角平分线上的点到角两边的______相等
判定 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上
(二)题型、技巧归纳
考点1全等三角形性质与判定的综合应用
技巧归纳:
1.解决全等三角形问题的一般思路:①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;
2.轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;
3.利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.
考点2全等三角形开放性问题
技巧归纳:
由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.
(三)典例精讲
例1 已知:AB=AE,∠1=∠2,∠B =∠E,求证:BC=ED.
[解析] 由∠1=∠2可得:∠EAD=∠BAC,再有条件AB=AE,∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED,再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED.
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD.
∴在△BAC与△EAD中,
∴△BAC≌△EAD,∴BC=ED.
例2 如图在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是________.(不添加辅助线)
[解析] 由已知可证∠EDC=∠BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF或(CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB);
解:(1)添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).
(2)证明:在△BDF和△CDE中,
∵
∴△BDF≌△CDE
(四)归纳小结
本部分内容要求熟练掌握全等形、全等三角形的定义,掌握全等三角形的性质与判定方法。
(五)随堂检测
1、已知:如图19-2,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线.求证:AB=DC.
2、在△ABC中,AB=CD,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
3、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长,为什么?
4、如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )
A.PO B.PQ
C.MO D.MQ
五、板书设计
性质 判定
六、作业布置
全等三角形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式,使同学们能直观感受本模块内容,以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练,使同学们能灵活运用本节重点知识。
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