第20讲 等腰三角形
一、知识梳理
等腰三角形的概念与性质
定义 有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底
性质 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴
定理1 等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)
定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
拓展 (1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
等腰三角形的判定
定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)
拓展 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
性质 等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______
等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴
判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
线段的垂直平分线
定义 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________
判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上
实质构成 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合
二、题型、技巧归纳
考点1等腰三角形的性质的运用
例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，
并说明理由．
技巧归纳：
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
考点2等腰三角形判定
例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
考点3等腰三角形的多解问题
例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为( )
A．45° B．75°
C．45°或75° D．60°
技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
考点4等边三角形的判定与性质
例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
（1） （2）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．
技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
三、随堂检测
1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度.
2.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 .
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 .
5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
参考答案
例1、解： (1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF＝∠ADF，
又∵∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴GD＝GF.
由(1)得，DE＝EF，
∴EG⊥DF.
例2、解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．
例3、
如图(1)：AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图(2)，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.
∴∠CAB＝∠B＝＝75°，
即此时△ABC底角的度数为75°.
综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
故选C.
例4、（1）=
（2）=
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.
∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
（3）3)1或3.
随堂检测
1、【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，
∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°.
答案：15
2、【解析】∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴∠CAE=30°.
根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°，
∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.
答案：60°
3．
【解析】选C.连接MA，NA.∵AB的垂直
平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的
垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN= BC=2cm.
4、【解析】∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°.
答案：50°
5、【解析】(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线.
(2)∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30°
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°.
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.
∴∠ABD=∠CBD，
即BD平分∠CBA.
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一、夯实基础
1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是( )
A．20° B．50° C．60° D．80°
3．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．
4、如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是( )
A．22 cm B．20 cm C．18 cm D．15 cm
二、能力提升
5．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1 000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
7．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
8．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝( )
A．125° B．130° C．90° D．120°
三、课外拓展
9．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．
10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．
11．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．
四、中考链接
12.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.
求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
13. 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．
求证：(1)△AEF≌△CDE；
(2)△ABC为等边三角形．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
15.如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.
(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；
(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
参考答案
一、夯实基础
1．D ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.
∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.
∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN.
∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.
2．B 因为等腰三角形的顶角为80°，所以底角＝(180°－80°)÷2＝50°.
3．40 ∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC.
∵∠ACD＝110°，∴∠ACB＝∠BAC＝70°，∴∠B＝∠40°.
∵AE∥BD，∴∠EAB＝∠B＝40°.
4、A解析：由题意可知DE为AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝8 cm.因为△ABC的周长为30 cm，所以AB＋BC＋AC＝30 cm，所以AB＋BC＝22 cm.所以△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝22 cm.
二、能力提升
5．C 因为x轴负半轴有一个点，x轴正半轴有三个点，所以符合条件的动点P的个数为4.
6．A
7．A ∵BF平分∠ABC，如图，
∴∠ABF＝∠CBF.
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF.
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF.
∴∠ABF＝∠DFB，∠ACF＝∠EFC.
∴BD＝DF，EF＝CE.
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE＝9.
8．D
三、课外拓展
9．8 因为△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝8.
10．15
11．＜x＜5 由三角形的三边关系得
解得＜x＜5.
四、中考链接
12．证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD，
∴△ACB≌△BDA(HL)．
∴BC＝AD.
(2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA.
∴△OAB是等腰三角形．
13．证明：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC.
∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.
又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE.
(2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC.
∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°.
同理可得∠BAC＝60°.
∴△ABC中，AB＝BC.
∴△ABC是等边三角形．
14．解：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠B＝∠BAD.
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAD＋∠DAE＋∠B＝90°.
∴∠B＝30°.
15．解：(1)①③；②③.
(2)①③.
证明：∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，
∴△BEO≌△CDO.∴OB＝OC.
∴∠OBC＝∠OCB.∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，
即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∴△ABC为等腰三角形
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一、复习目标
1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质
2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。
四、教学过程
（一）知识梳理
等腰三角形的概念与性质
定义 有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底
性质 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴
定理1 等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)
定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
拓展 (1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
等腰三角形的判定
定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)
拓展 (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
性质 等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______
等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴
判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
线段的垂直平分线
定义 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________
判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上
实质构成 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合
（二）题型、技巧归纳
考点1等腰三角形的性质的运用
技巧归纳：
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
考点2等腰三角形判定
技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
考点3等腰三角形的多解问题
技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
考点4等边三角形的判定与性质
技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
（三）典例精讲
例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，
并说明理由．
[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．
解： (1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF＝∠ADF，
又∵∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴GD＝GF.
由(1)得，DE＝EF，
∴EG⊥DF.
例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．
例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为( )
A．45° B．75°
C．45°或75° D．60°
[解析] 首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．
如图(1)：AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图(2)，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.
∴∠CAB＝∠B＝＝75°，
即此时△ABC底角的度数为75°.
综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
故选C.
例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
（1） （2）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．
（1）=
（2）=
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.
∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
（3）3)1或3.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握等腰三角形的概念、性质与判定、等边三角形、线段的垂直平分线的运用。
（五）随堂检测
1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度.
2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 .
3.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 .
4.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
五、板书设计
等腰三角形
六、作业布置
等腰三角形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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