第22讲: 相似三角形及其应用
一、复习目标
1. 复习相似三角形的概念。
2. 复习相似三角形的性质。
3. 复习相似三角形的判定。
4. 复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。
难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题。
四、教学过程
（一）知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形 形状相同的图形称为相似图形
相似多边形 定义 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
相似比 相似多边形对应边的比称为相似比k
相似三角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等
比例线段
定义 防错提醒
比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位
黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________ 一条线段的黄金分割点有______个
平行线分线段成比例定理
定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________
相似三角形的判定
判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________
判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似
判定定理3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似
判定定理4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似
拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
相似三角形及相似多边形的性质
三角形 (1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似多边形 (1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心
位似与相似关系 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图形的性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点； (3)位似图形对应边______(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等
以坐标原点为中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________
位似作图 (1)确定位似中心O； (2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
相似三角形的应用
几何图形的证明与计算 常见问题 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
相似三角形在实际生活中的应用 建模思想 建立相似三角形模型
常见题目类型 (1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以达到的河的宽度
（二）题型、技巧归纳
考点1比例线段
技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
技巧归纳：1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
考点3三角形相似的判定方法及其应用
技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
考点4位似
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
（三）典例精讲
例1 如图已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( )
A．7 B．7.5
C．8 D．8.5
[解析] 因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.
例2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：
(2)求这个矩形EFGH的周长．
[解析] (1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．
(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，∴ ＝.
(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
可得＝，解得x＝12，2x＝24.
所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
[解析] (1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；
(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.
∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；
(2)∵△ABE∽△DEF，
∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，
∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，
∴＝，
解得EF＝.
例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )
A、 B、 C、 D、
[解析] 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3.
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为(1，2)，
∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.
故选B.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握相似三角形的概念、性质、判定。
（五）随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__2.3__m.
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．
3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为 2．
五、板书设计
相似三角形
六、作业布置
相似三角形及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
PAGE第22讲相似三角形及其应用
一、知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形 形状相同的图形称为相似图形
相似多边形 定义 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
相似比 相似多边形对应边的比称为相似比k
相似三角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等
比例线段
定义 防错提醒
比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位
黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________ 一条线段的黄金分割点有______个
平行线分线段成比例定理
定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________
相似三角形的判定
判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________
判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似
判定定理3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似
判定定理4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似
拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
相似三角形及相似多边形的性质
三角形 (1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似多 边形 (1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心
位似与相 似关系 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图形 的性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点； (3)位似图形对应边______(或在一条直线上)； (4)位似图形对应角相等
以坐标原点为中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________
位似 作图 (1)确定位似中心O； (2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
相似三角形的应用
几何图形的证明与计算 常见问题 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
相似三角形在实际生活中的应用 建模思想 建立相似三角形模型
常见题目类型 (1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以达到的河的宽度
二、题型、技巧归纳
考点一：比例线段
例1已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( )
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
例2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：
(2)求这个矩形EFGH的周长．
技巧归纳：
1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；
2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
考点3三角形相似的判定方法及其应用
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
考点4位似
例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )
A、 B、 C、 D、
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
三、随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__ __m.
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．
3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为 ．
参考答案
例1、因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.
例2、解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，∴ ＝.
(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
可得＝，解得x＝12，2x＝24.
所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．
例3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.
∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；
(2)∵△ABE∽△DEF，
∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，
∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，
∴＝，
解得EF＝.
例4、 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
∵在正方形ABCD中，AC＝3，
∴BC＝AB＝3.
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为(1，2)，
∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.
故选B.
随堂检测
1、 2.3
2、
3、
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一、夯实基础
1．下列判断正确的是( )
A. 不全等的三角形一定不是相似三角形
B. 不相似的三角形一定不是全等三角形
C. 相似三角形一定不是全等三角形
D. 全等三角形不一定是相似三角形
2．△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30 cm，则原三角形最大边长为 （ ）
A. 44 cm B. 40 cm
C. 36 cm D. 24 cm
4．如图，在 ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为( )
A. 3∶4 B. 9∶16
C. 9∶1 D. 3∶1
(第4题图)
(第5题图)
5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
二、能力提升
6．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__ __m.
(第6题图)
(第7题图)
7．如图，已知△ABC的面积是的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 (结果保留根号)．
8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD： (只填一个即可)．
三、课外拓展
9．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 12
(第9题图)
(第10题图)
10．已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )
(第11题图)
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )
A. 2.5 B. 1.6
C. 1.5 D. 1
12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为 _ m.
(第12题图)
四、中考链接
13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论．
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
14．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t(s)．
(1)求线段CD的长．
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
参考答案
一、夯实基础
1、B
2、B
3、D
4、B
5、B
二、能力提升
6、9
7、
8、∠ACD＝∠ABC(答案不唯一)
三、课外拓展
9、C
10、D
11、B
12、2.3
四、中考链接
13、解：(1)△BMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.
∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45°.
∴△BMN是等腰直角三角形．
(2)△MFN∽△BDC.
证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝AC.
∵AC＝BD，
∴FM＝BD，即＝.
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM＝BM＝BC，即＝，
∴＝＝.
∵AM⊥BC，
∴∠NMF＋∠FMB＝90°.
∵FM∥AC，
∴∠ACB＝∠FMB.
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBD＝90°.
∴∠CBD＋∠FMB＝90°.
∴∠NMF＝∠CBD.
在△MFN与△BDC中，
∵
∴△MFN∽△BDC.
14、解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由PN∥BC可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得y＝，∴PN＝×2＝(mm)，
答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm，
mm.
(2)设PN＝x mm，同(1)可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PQ＝80－x.
∴矩形PQMN的面积S＝PN·PQ＝x＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2400，
∴S的最大值为2400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．
15、解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10.
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
∴CD＝＝4.8，
∴线段CD的长为4.8.
(2)①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如解图①所示，
由题可知DP＝t，CQ＝t，则CP＝4.8－t，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B.
∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，
∴∠CHP＝∠ACB，
∴△CHP∽△BCA，
∴＝，即＝，得PH＝－t，
∴S△CPQ＝CQ·PH＝t(－t)＝－t2＋t.
②存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，
∵S△ABC＝×6×8＝24，
且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，
∴(－t2＋t)∶24＝9∶100，
整理，得5t2－24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0，
解得t＝或t＝3.
∵0≤t≤4.8，
∴当t＝ s或t＝3 s时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.
(3)①若CQ＝CP，
则t＝4.8－t，解得t＝2.4.
②若PQ＝PC，如解图①所示，
∵PQ＝PC，PH⊥QC，
∴QH＝CH＝QC＝.
∵△CHP∽△BCA，
∴＝，∴＝，
解得t＝.
③若QC＝QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如解图②所示．
∵QC＝QP，QE⊥CP，
∴CE＝PE＝PC＝.
∵∠QEC＝∠ACB＝90°，∠QCE＝∠ABC，
∴△QCE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝.
综上所述：当t为2.4 s或 s或 s时，△CPQ为等腰三角形．
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