湘教版2022-2023学年度上学期九年级期末练习数学试题4（含解析）

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湘教版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题4
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题
已知一组数据5，4，4，6，则这组数据的众数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
已知反比例函数y=，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限 D．若x＞1，则y＜2
下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
下列命题中真命题是（　　）
A．=（）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
cos60°的值等于（　　）
A． B．1 C． D．
抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣5的对称轴是直线（　　）
A．x=﹣3 B．x=3 C．x=5 D．x=﹣5
一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0，②a+b+c＝0，③ac+b+1＝0，④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（　　）
A． 7 B． 8 C． 8或17 D． 7或17
已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2，
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大，
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3，
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
1 、填空题
关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=　 　（一个即可）．
两组数据：3，a ,2b , 5与a ,6 ，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为__________________________.
点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．
如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 　 　m．
（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．
已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 　 　．
如图，在正方形中，，点E在边BC上，点F在边的延长线上，设，，当时，y关于x的函数解析式为__________．
1 、解答题
先化简，再求值：
，其中x满足．
渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）
某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人．
2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天 1 2 3 4 5
销售价格（元/只） 2 3 4 5 6
销量（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y=（k＜0）的图象于点D，y=（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求△AOD的面积．
在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根；
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )， 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？
如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BF。使它们分别与AO相交于点G、H
（1）求EG ：BG的值
（2）求证：AG=OG
（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值
答案解析
1 、选择题
【考点】众数
【分析】根据题目中的数据和众数的含义，可以得到这组数据的众数，本题得以解决．
解：∵一组数据5，4，4，6，
∴这组数据的众数是4，
故选：A．
【点评】本题考查了众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解：A．∵1×2=2，∴图象必经过点（1，2），故本选项正确；
B、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴此函数的图象在一、三象限，故本选项正确；
D、∵当x＞1时，此函数图象在第一象限，∴0＜y＜2，故本选项正确．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【考点】命题与定理
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．
解：A．=（）2当a＜0不成立，假命题；
B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；
C、正多边形都是轴对称图形，真命题；
D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念是解题的关键．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．　
【考点】二次函数的性质．
【分析】本题函数式是抛物线的顶点式，可直接求顶点坐标及对称轴．
解：∵抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是x=3．
故选B．
【点评】考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，要掌握顶点式的性质．
【考点】反比例函数的应用
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断，
②根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+b+c，可对②进行判断，
③利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对③作出判断，
④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确，
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误，
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误，
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c），抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
【考点】解直角三角形
【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长．
解：∵cos∠B=，
∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
∵AC=13，
∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC=BD+CD=12+5=17，
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，能从中整理出直角三角形是解答本题的关键，难点为分类讨论，难点中等．
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确，根据二次函数的增减性判断出②错误，先确定x＝1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确，令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确，
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误，
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确，
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
1 、填空题
【考点】根的判别式
【分析】先根据判别式的意义得到△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，然后在解集中找出负整数即可．
解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，
∴△=42+8a≥0，
解得a≥﹣2，
∴负整数a=﹣1或﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】中位数、算术平均数
【分析】由题意得 ，解得，
∴这组新数据是3,4,5,6,8,8,8,其中位数是6.
解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，
一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．
故答案为6．
【点评】本题考查了中位数、算术平均数。弄清楚定义是解题的关键。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可．
解：因为当时，，
说明A．B两点同时位于第一或第四象限，
∵当时，均有，
∴在该图像上，y随x的增大而增大，
∴A．B两点同时位于第四象限，
所以k<0，
故答案为：k<0．
【点评】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．
解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．
则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
设AE＝xm，则DE＝xm，
∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，
解得x＝10，
∴AB＝16m．
故答案为：16．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
【考点】函数关系式,等腰三角形的性质, 勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】过点E作EH⊥AF于点H，由题意易得AB=EH=2，BE=AH=x，然后根据勾股定理可求解．
解：过点E作EH⊥AF于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴
∵，，
∴，
在Rt△EHF中，由勾股定理可得，
化简得：，
∴当时，y关于x的函数解析式为；
故答案为．
【点评】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及函数是解题的关键．
1 、解答题
【考点】分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元二次方程
【分析】先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
解：∵
∴x=2或x=-1
∴
=
=
=
=x（x+1）
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．
解：作BF⊥CE于F，
在Rt△BFC中，BF＝BC sin∠BCF≈3.20，
CF＝BC cos∠BCF≈3.85，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝≈1.73，
∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，
由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），
答：AB的长约为0.6m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点】条形统计图，扇形统计图，中位数
【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数；
（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；
（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．
解：（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，
∴本次抽取的总人数为：（人），
∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）；
（2）∵总人数为60人，
∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，
∵，且
∴中位数落在C组；
（3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：，
故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组的学生人数有：（人）．
【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键．
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
解：（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，
；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据矩形的面积求出AB，求出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）∵矩形OABC的面积为4，双曲线在第二象限，
∴k=﹣4，
∴反比例函数的表达式为y=﹣；
（2））∵直线y=﹣x+3交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，3），即OA=3，
解方程组，
得，，
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为（﹣1，4），
∴△AOD的面积=×3×1=．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的系数k的几何意义、解方程组求出反比例函数与一次函数的交点是解题的关键．　
【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.
（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。
（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。
（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+x+ ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )=0.再依据相对应的系数相等即可求出。
（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴.
∴.
∴m（5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+x+=0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（- ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )，）或A（0，），B（-，c）等.
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又ax2+bx+c=0,
即x2+x+=0.
比较系数可得：m1+m2=-.
m1m2+n1n2=.
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；
（2）①由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；
②先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标．
解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）
将B、C坐标代入抛物线得
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①∵，垂足为N．
∴P（m，），D（m，），
分以下几种情况：
M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=
解得，（舍去）；
P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）
解得，（舍去）；
D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）
解得，（舍去）；
∴符合条件的m的值有-2，，1；
②∵抛物线的解析式为：，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AO=1，CO=2，BO=4，
∴，又=90°，
∴，
∴，
∵与相似
∴，
∴，
∴ ，
∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为：（3，-2）
【点评】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
【考点】相似形综合题；平行四边形的性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；
（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=AC=2AG，即可得到GO=AO﹣AG=AG；
（3）根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到a=AC，b=AC，c=AC，就可得到a：b：c的值．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴==．
∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3；
（2）∵GC=3AG（已证），
∴AC=4AG，
∴AO= ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )AC=2AG，
∴GO=AO﹣AG=AG；
（3）∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，
∴△AFH∽△CBH，
∴=== ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )，
∴=，即AH=AC．
∵AC=4AG，
∴a=AG= ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )AC，
b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，
c=AO﹣AH= ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )AC﹣AC=AC，
∴a：b：c=： ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )：=5：3：2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、合比性质等知识，由两直线平行联想到三角形相似，从而得到边成比例，是常用的一种方法，应熟练掌握．
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