湘教版2022-2023学年度上学期九年级期末练习数学试题5（含解析）

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湘教版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题5
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题
一组数据1，3，4，2，2的众数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（　　）
A．∠A＝∠C B．∠A＞∠C C．∠A＜∠C D．无法比较
“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=900，OB=2OA，点A在反比例函数y= 的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1 、填空题
某8种食品所含的热量值分别为：120，134，120，119，126，120，118，124，则这组数据的众数为　 　．
在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________．
若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
已知反比例函数y=（k≠0）的图象过点（﹣1，2），则当x＞0时，y随x的增大而　 　．
如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是　 　（只填序号）
1 、解答题
计算|﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+（3﹣π）0．
有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A．两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
某学校开展“家国情 诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟）．
将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：
平均每天阅读时间统计表
等级 人数（频数）
A（10≤m＜20） 5
B（20≤m＜30） 10
C（30≤m＜40） x
D（40≤m＜50） 80
E（50≤m≤60） y
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求x的值，
（2）这组数据的中位数所在的等级是 　 　，
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数．
某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：
销售第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第30天
销售单价m（元/件） 49 48 47 46 … 20
日销售量n（件） 45 50 55 60 … 190
（1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式：　 　，　 　；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？
下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为h，
则S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h．
∴S△ABC＝S△DBC．
【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．
证明：∵S△ABC＝　 　．
（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∴AE∥　 　．
∴△AEM∽　 　．
∴＝．
由【探究】（1）可知＝　 　，
∴＝．
（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为 　 　．
将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=的图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x+m＞的解集．
如图①，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；
（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析
1 、选择题
【考点】众数．
【分析】根据众数的定义即可得到结论．
解：∵在数据1，3，4，2，2中，
2出现的次数最多，
∴这组数据1，3，4，2，2的众数是2，
故选B．
【点评】考查了确定一组数据的众数的能力．　
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解：A．△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0，方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0，方程没有实数根．　
【考点】相似图形
【分析】原来的图形和放大的图形是相似的，根据相似三角形的对应角相等，可以判定∠A＝∠C．
解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质，可判定∠A＝∠C．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项．
解：由题意得：；
故选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点
【分析】先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x＝a，根据二次函数的性质得到a≥﹣1，从而得到实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．
解：设点A的坐标为（a，0），
∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，
∴点C（﹣a，），
∴点B的坐标为（0，），
∴=1，
解得，k=4，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴==，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），
∴k=-2n 2m=-4mn=-4．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
【考点】二次函数的图象与性质
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，
∴y1＜y2，故②正确，
③∵ =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=- (x-2)2+
∵＞3
∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
【考点】勾股定理，旋转性质，锐角三角形函数
【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果．
解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键．
【考点】二次函数的综合题
【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
解：∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
1 、填空题
【考点】众数
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即为众数．
解：∵这组数据中120出现次数最多，有3次，
∴这组数据的众数为120，
故答案为：120．
【点评】 本题考查了众数的知识，注意掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．　
【考点】解直角三角形
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由求出BD，再求出BC的长．
解：如图，∵在Rt△ABD中，，，
∴，即：，
∴，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【点评】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．
解：∵ 一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴ △ =b2﹣4ac=4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】把（﹣1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函数的性质解答即可．
解：把（﹣1，2）代入解析式y=，可得：k=﹣2，
因为k=﹣2＜0，
所以当x＞0时，y随x的增大而增大，
故答案为：增大
【点评】此题考查了反比例函数y=（k≠0），的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
【考点】 相似三角形的判定与性质
【分析】作DG∥AC，交BE于点G，得到，进而得到，求出面积最大值，问题得解．
解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，
∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵AB=4，
∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为
故答案为：
【点评】本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过OD与CD关系将求面积转化为求面积是解题关键
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点，可得abc＞0，则可判断①，根据图象可得x=﹣3时y＜0，代入解析式可判断②，根据抛物线与x轴的交点个数可判断③．根据a﹣b=﹣a＞0，可判断④
解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x=﹣1
∴=﹣1
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x=﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴△=b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；同时运用对称性并与图形相结合进行判断
1 、解答题
【考点】实数的运算；零指数幂；整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣1|+3﹣2﹣2sin45°+（3﹣π）0
=﹣1+﹣2×+1
=
【点评】有理数的混合运算首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行有理数的乘除，最后是加减，关键要记住特殊角的三角函数值．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解．
解：由题意得：，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有m，
∴，即，
解得：，
∴m．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【考点】扇形统计图，中位数，用样本估计总体，频数（率）分布表．
【分析】（1）用200乘C等级所占百分比即可得出x的值，
（2）根据中位数的定义解答即可，
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）由题意得x＝200×20%＝40，
（2）把200个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在D等级，
故答案为：D，
（3）被抽查的200人中，不低于50分钟的学生有200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65（人），
1800×＝585（人），
答：估计受表扬的学生有585人．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，解题的关键是掌握“频率＝频数÷总数”．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）由表格中数据的变化，用含x的代数式表示出m、n即可；
（2）根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由1≤x≤30可确定x的值；
（3）设日销售额为w元，根据总价=单价×数量即可找出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低1元/件、销量增加5件，
∴m=49﹣（x﹣1）=﹣x+50，n=45+5（x﹣1）=5x+40．
故答案为：m=﹣x+50；n=5x+40．
（2）根据题意得：（﹣x+50）（5x+40）=3600，
整理得：x2﹣42x+320=0，
解得：x1=10，x2=32．
∵32＞30，
∴x=32舍去．
答：第10天的日销售额为3600元．
（3）设日销售额为w元，
根据题意得：w=（﹣x+50）（5x+40）=﹣5x2+210x+2000=﹣5（x﹣21）2+4205．
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵对称轴为直线x=21，
∴当1≤x≤14时，w随x的增大而增大，
∴当x=14时，w取最大值，最大值为3960．
答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第14天时该商品的日销售额最多，商场可捐款3960元．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，明确不等关系并据此列出方程或函数关系式是解题基础，根据题意挖掘出不等关系求a的范围是关键．　
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h′即可证明．
（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．
（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．
（1）证明：∵S△ABC＝BC h，S△DBC＝BC h′，
∴＝．
（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．
∵AE∥DF，
∴△AEM∽△DFM，
∴＝，
由【探究】（1）可知＝，
∴＝．
故答案为：DF，△DFM，．
（3）作DK∥AC交l2于点K，
∵DK∥AC，
∴△ACE∽△DKE，
∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，
∴＝＝，
由【探究】（2）可得＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据平移的原则得出m的值，并计算点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入可以求k的值；
（2）画出两函数图象，根据交点坐标写出解集．
解：（1）由平移得：y=3x+1﹣1=3x，
∴m=0，
当y=3时，3x=3，
x=1，
∴A（1，3），
∴k=1×3=3；
（2）画出直线y=3x和反比例函数y=的图象：如图所示，
由图象得：不等式3x+m＞的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题和一次函数的图象的平移问题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式，并熟知函数图象平移时“上加下减，左加右减”的法则．　
【考点】相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图 复杂作图
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．
（1）证明：∵，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形.
又，
∴是菱形.
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD＋CD＝AC，
∴x+x=3，
∴x＝，
∴CD＝x=，
观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB，
∴，，
∴，
解得m＝，
∴CD＝3 ，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB，
∴，
∴，
∴n＝，
∴CG＝4，
∴CD＝，
观察图象可知：
当或时，菱形的个数为0；
当或时，菱形的个数为1；
当时，菱形的个数为2.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图 复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）如图1，运用待定系数法求这个二次函数的解析式；
（2）如图2，先求直线BC的解析式为y=x﹣2，设出点E的坐标，写出点G的坐标（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），求出EG的长，证明∴△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长═（﹣m2+2m+8）= [﹣（m﹣1）2+9]，根据二次函数的顶点确定其最值；
（3）分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角时，列方程组，求出点E的坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论．
解：（1）如图1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：，
则二次函数的解析式y=﹣x2+x+2；
（2）如图2，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y=kx+b中得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣2，
设E（m，﹣ m2+m+2），﹣2＜m＜4，
∵EG⊥y轴，
∴E和G的纵坐标相等，
∵点G在直线BC上，
当y=﹣m2+m+2时，﹣ m2+m+2=x﹣2，
x=﹣m2+3m+8，
则G（﹣m2+3m+8，﹣ m2+m+2），
∴EG=﹣m2+3m+8﹣m=﹣m2+2m+8，
∵EG∥AB，
∴∠EGF=∠OBD，
∵∠EFG=∠BOD=90°，
∴△EFG∽△DOB，
∴=，
∵D（0，﹣2），B（4，0），
∴OB=4，OD=2，
∴BD==2，
∴=﹣，
∴△EFG的周长=（﹣m2+2m+8），
= [﹣（m﹣1）2+9]，
∴当m=1时，△EFG周长最大，最大值是；
（3）存在点E，
分两种情况：
①若∠EBD=90°，则BD⊥DE，如图3，
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴BD的解析式为：y=x﹣2，
∴设直线EB的解析式为：y=﹣2x+b，
把B（4，0）代入得：b=8，
∴直线EB的解析式为：y=﹣2x+8，
∴，
﹣x2+x+2=﹣2x+8，
解得：x1=3，x2=4（舍），
当x=3时，y=﹣2×3+8=2，
∴E（3，2），
②当BD⊥DE时，即∠EDB=90°，如图4，
同理得：DE的解析式为：y=﹣2x+b，
把D（0，﹣2）代入得：b=﹣2，
∴DE的解析式为：y=﹣2x﹣2，
∴，
解得： ，
∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），
③当∠DEB=90°时，以BD为直径画圆，如图5，发现与抛物线无交点，
所以此种情况不存在满足条件的E点；
综上所述，点E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），
故存在满足条件的点E，点E的坐标为（3，2）或（﹣1，0）或（8，18）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式；根据两直线垂直，则一次项系数为负倒数，利用一条直线求另一条直线的解析式；若三角形直角三角形时，要采用分类讨论的思想，分三种情况进行讨论，利用勾股定理或解析式或相似求出点E的坐标．
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