九年级数学上册 第二十一章一元二次方程素养综合检测（含答案解析）

第二十一章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是(　　)
A.2x2-x-y2=0
B.x(x-2)=0
C.ax2+bx+c=0(a、b、c为常数)
D.x-=8
2.若方程x2-6x+9=0与关于x的一元二次方程x2-bx-6=0有一个公共解,则实数b的值为(　　)
A.2　　B.1　　C.-1　　D.-2
3.将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是(　　)
A.-4,21　　B.-4,11　　C.4,21　　D.-8,69
4.关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≥2　　B.m≤2　　C.m>2　　D.m<2
5.某银行经过两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%,设平均每次降息的百分率为x,则x满足方程(　　)
A.2.25%(1-2x)=1.21%
B.1.21%(1+2x)=2.25%
C.1.21%(1+x)2=2.25%
D.2.25%(1-x)2=1.21%
6.若(a2+-2)2=20,则a2的值为(　　)
A.2+　　　　 B.2-
C.2+或2-3　　　　D.2-3
7.若m、n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,则m2+4m+n的值是(　　)
A.4　　B.5　　C.6　　D.12
8.若x比(x-1)与(x+1)的积小1,则关于x的值,下列说法正确的是(　　)
A.不存在这样的x的值
B.有两个相等的x的值
C.有两个不相等的x的值
D.无法确定
9.如图,要设计一幅宽为20 cm,长为30 cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,那么横彩条和竖彩条的宽度分别是(　　)
A.2 cm和3 cm　　　　B. cm和 cm
C. cm和 cm　　　　D. cm和 cm
10.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,……,若第n个图形有160个小圆,则第(n+1)个图形中小圆的个数为(　　)
A.164　　B.186　　C.214　　D.244
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.把方程x2+2(x-1)=3x化成一般形式为　　　　　　　,其一次项系数为　　　　.
12.方程x2-5x=0的实数解是　　　　　　　　.
13.若关于x的一元二次方程3x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为　　　　.
14.已知x为实数,且满足(x2+y2)2-2(x2+y2)=24,则x2+y2的值是　　　　.
15.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m2+1=0的实数根为α、β,且α+β=α·β,则m的值为　　　　.
16.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产量,某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究.在保持去年种植面积不变的情况下,今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%,因为优化了品种,预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%,全部售出后预计总收入将增加68%,则a的值为　　　　.
三、解答题(共46分)
17.(每小题3分,共12分)解方程:
(1)(x-5)2=16;
(2)2y2+4y=y+2;
(3)x2-2x-4=0;
(4)(3x-1)2=(x+1)2.
18.(8分)某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同.
(1)求这个增长率;
(2)求3月份的利润是多少万元.
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-4x+k+1=0.
(1)若k=-1,求方程的根;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
20.(8分)如图,要利用一面墙(墙长为55 m),用100 m的围栏建羊圈,基本结构为三个大小相同的矩形.
(1)如果围成的总面积为400 m2,求羊圈的边AB,BC的长各为多少;
(2)保持羊圈的基本结构,羊圈总面积是否可以达到800 m2 请说明理由.
21.(10分)某商场以每千克40元的价格购进某种海鱼,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到实惠,现决定降价销售,已知这种海鱼销售量y(kg)与每千克降价x(元)(0(1)求y关于x的函数表达式;
(2)商场在销售这种海鱼中要想获利2 090元,且尽可能让顾客花费少些,则这种海鱼每千克应降价多少元 共销售了多少千克这种海鱼
答案全解全析
1.B　A中方程含有两个未知数;B中方程是一元二次方程;当a=0时,C中方程不是一元二次方程;D中方程是分式方程.
2.B　由x2-6x+9=0得(x-3)2=0,解得x1=x2=3.把x=3代入x2-bx-6=0,得9-3b-6=0,∴b=1.
3.A　移项得x2-8x=5,配方得x2-8x+16=5+16,即(x-4)2=21,∴a=-4,b=21.故选A.
4.D　根据题意得Δ=(-2)2-4×1×(m-1)>0,解得m<2.
5.D　经过一次降息,年利率是2.25%(1-x),经过两次降息,年利率是2.25%(1-x)2,所以可列方程:2.25%(1-x)2=1.21%.
6.A　∵(a2+-2)2=20,∴a2+-2=±2,∴a2=2+或a2=2-3,又2-3<0,∴舍去a2=2-3,∴a2的值为2+.故选A.
7.C　∵m、n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,∴m+n=-3,mn=-9,∵m是x2+3x-9=0的一个根,∴m2+3m-9=0,∴m2+3m=9,∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9-3=6.
8.C　解法一:∵x比(x-1)与(x+1)的积小1,∴(x-1)·(x+1)-x=1,
∴x2-x-2=0.∵Δ=1+8=9>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选C.
解法二:∵x比(x-1)与(x+1)的积小1,∴(x-1)(x+1)-x=1,即(x-1)(x+1)-(x+1)=0,因式分解,得(x+1)(x-1-1)=0,解得x1=-1,x2=2,∴方程有两个不相等的实数根,故选C.
9.C　设横彩条的宽度为x cm,则竖彩条的宽度为x cm,由题图可知一个横彩条的面积为x×20 cm2,一个竖彩条的面积为x×30 cm2,有四个重叠的部分,重叠部分的面积为x×x×4 cm2,因为所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,所以列方程为2×x×20+2×x×30-x×x×4=×20×30,解得x1=,x2=20(不合题意,舍去),所以横彩条的宽度为 cm,竖彩条的宽度为 cm.故选C.
10.B　第一个图形有(1×2+4)个小圆,第二个图形有(2×3+4)个小圆,第三个图形有(3×4+4)个小圆,第四个图形有(4×5+4)个小圆,……,第n个图形有[n(n+1)+4]个小圆,由题意得n(n+1)+4=160,
解得n1=12,n2=-13(不合题意,舍去),
∴n+1=13.13×14+4=186,即第(n+1)个图形中有186个小圆.
11.x2-x-2=0;-1
解析　去括号,得x2+2x-2=3x;移项,得x2+2x-2-3x=0;合并同类项,得x2-x-2=0,其中一次项系数为-1.
12.x1=0,x2=5
解析　方程x2-5x=0,分解因式得x(x-5)=0,可得x=0或x-5=0,解得x1=0,x2=5.
13.-
解析　∵一元二次方程3x2-2x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-k)=0,解得k=-.
14.6
解析　设x2+y2=z,则z≥0,原方程等价于z2-2z-24=0.解得z=6或z=-4(舍去),∴x2+y2=6.
15.2
解析　由根与系数的关系得α+β=m+3,αβ=m2+1,而α+β=α·β,∴m+3=m2+1,∴m2-m-2=0,∴(m-2)(m+1)=0,∴m=2或m=-1,当m=-1时,方程为x2-2x+2=0,此方程没有实数根,∴m=2.
16.20
解析　依题意得(1+a%)(1+2a%)=1+68%,令m=a%,则原方程可整理为2m2+3m-0.68=0,解得m1=0.2,m2=-1.7.又∵m=a%,∴a1=20,a2=-170(不合题意,舍去).∴a=20.
17.解析　(1)开方,得x-5=±4,∴x1=9,x2=1.
(2)解法一:整理,得2y2+3y-2=0,a=2,b=3,c=-2,
Δ=b2-4ac=32-4×2×(-2)=25>0,∴y===,∴y1=,y2=-2.
解法二:整理,得2y(y+2)=y+2,移项,得2y(y+2)-(y+2)=0,因式分解,得(y+2)(2y-1)=0,于是有y+2=0或2y-1=0,∴y1=-2,y2=.
(3)移项,得x2-2x=4,配方,得x2-2x+1=1+4,
即(x-1)2=5,开方,得x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-.
(4)移项,得(3x-1)2-(x+1)2=0.
因式分解,得(3x-1+x+1)(3x-1-x-1)=0,即8x(x-1)=0.
于是有8x=0或x-1=0,∴x1=0,x2=1.
18.解析　(1)设这个增长率为x,
依题意,得20(1+x)2-20(1+x)=4.8,
解得x1=0.2=20%,x2=-1.2(不合题意,舍去).
答:这个增长率为20%.
(2)20×(1+20%)2=20×1.44=28.8(万元).
答:3月份的利润是28.8万元.
19.解析　(1)将k=-1代入x2-4x+k+1=0,
得x2-4x=0,解得x1=0,x2=4.
(2)∵关于x的一元二次方程x2-4x+k+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4×1×(k+1)>0,解得k<3.
20.解析　(1)设AB=x m,则BC=(100-4x)m,
∵100-4x≤55,∴x≥11.25.由题意知,x(100-4x)=400,即x2-25x+100=0,解得x1=20,x2=5(舍),∴AB=20 m,BC=100-4×20=20 m.
答:羊圈的边AB的长为20 m,BC的长为20 m.
(2)不能.
理由:设AB=y m时,羊圈总面积为800 m2,
由题意,得y(100-4y)=800,即y2-25y+200=0,
∵a=1,b=-25,c=200,∴b2-4ac=(-25)2-4×1×200=-175<0,∴方程无实数根,
∴羊圈总面积不能达到800 m2.
21.解析　(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b,
将(2,120),(4,140)代入y=kx+b,
得解得
∴函数表达式为y=10x+100(0(2)依题意,得(60-x-40)(10x+100)=2 090,
整理得x2-10x+9=0,解得x1=1,x2=9.
又∵要尽可能让顾客花费少些,∴x=9,
∴y=10x+100=10×9+100=190.
答:这种海鱼每千克应降价9元,共销售了190千克这种海鱼.