九年级数学上册 第二十四章圆素养综合检测（含答案解析）

第二十四章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的是(　　)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.三个点确定一个圆
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.圆内接四边形的对角互补
2.如图,点A、B、C、D在☉O上,∠AOC=120°,点B是的中点,则∠D的度数是(　　)
A.30°　　B.40°　　C.50°　　D.60°
3.一根钢管放在V形架内,其截面如图所示,钢管的半径是24 cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是(　　)
A.8π cm　　　　B.16π cm　　
C.32π cm　　　　D.192π cm
4.如图,AB为☉O的直径,C、D为☉O上两点,∠CDB=30°,BC=4.5,则AB的长度为(　　)
A.6　　B.3　　C.9　　D.12
5.如图,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,点A是的中点,过点A画☉O的切线,交BC的延长线于点D,连接EC.若∠ADB=58.5°,则∠ACE的度数为(　　)
A.29.5°　　　　B.31.5°　　
C.58.5°　　　　D.63°
6.如图,点O为△ABC的内心,过点O作直线DE分别与AB、AC相交于点D、E,连接OB,OC.若AD=AE=10,DE=12,BC=20,则△OBC的面积为(　　)
A.96　　　　B.80　　
C.48　　　　D.36
7.如图,AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E,若CD=6,AE=9,则阴影部分的面积为(　　)
A.6π- 　　　　B.12π-9
C.3π- 　　　　D.9
8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O切CD于点E,点M、N分别为BC、CE上的动点,且MN与☉O相切于F.设AD=x,△CMN的周长为y,若☉O的半径为3,则y关于x的函数表达式为(　　)
A.y=3x　　　　B.y=6x
C.y=　　　　D.y=
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-4)2+与直线y=x交于点A、B,若以点B为圆心,8为半径作☉B,则下列判断正确的个数是(　　)
①点O在☉B外;②点A在☉B内;③x轴与☉B相切;④y轴与☉B相交.
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
10.如图,等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是☉O上的一个动点,∠ACB=90°,腰AC与斜边AB分别交☉O于点E、D,分别过点D,E作☉O的切线交于点F,且点F恰好是腰BC上的点,连接OC,OD,OE,若☉O的半径为4,则OC的最大值为(　　)
A.2+2　　B.4+2　　C.6　　D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.用反证法证明“圆内不是直径的两条弦,不能互相平分”时,假设　.
12.如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BOD=80°,则∠BCD=　　　　.
13.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则☉O的半径OC=　　　　.
14.Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,将△ABC沿AC所在直线旋转一周,所得几何体的全面积是　　　　(结果保留π).
15.如图,☉O的半径为1,作两条互相垂直的直径AB、CD,弦AC是☉O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心,1为半径画弧,交☉O于点E,F,连接AE、CE,弦EC是该圆内接正n边形的一边,则该正n边形的面积为　　　　.
16.如图,已知线段AB=4,动点C满足∠ACB=30°,M、N分别是线段AB、BC的中点,则△BMN的面积的最大值为　　　　.
三、解答题(共46分)
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　　　　　;
(2)点D坐标为(8,-2),连接CD,判断直线CD与☉M的位置关系,并说明理由.
18.(8分)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,C是的中点,弦CE⊥AB于点H,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.
(1)求证:P是线段AQ的中点;
(2)若☉O的半径为5,D是的中点,求弦CE的长.
19.(10分)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画圆,交AC于点D,DF⊥AB于点F,连接OF,且AF=1.
(1)求证:DF是☉O的切线;
(2)求线段OF的长度.
20.(10分)已知AB为☉O直径,C为☉O上一点,过点C作☉O的切线PC交AB延长线于点P,D为上一点,连接BD,BC,DC.
(1)如图①,若∠D=26°,求∠PCB的大小;
(2)如图②,连接AD,若四边形CDBP为平行四边形,求∠PCB,∠ADC的大小.
21.(10分)数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,等边三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60°,试说明:∠NOC=60°.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么∠DON=　　　　度,说明理由.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN=　　　,∠EON=　　　度.
答案全解全析
1.D　被平分的弦只有不是直径时,原结论才成立,故A错误;不在同一直线上的三个点才能确定一个圆,故B错误;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故C错误;选项D中说法正确.
2.A　如图,连接OB,∵点B是的中点,∴∠AOB=∠AOC=×120°=60°,∴∠D=∠AOB=30°.
3.B　由题意得,CA和CB与☉O分别相切于点A和点B,∴OA⊥CA,OB⊥CB,∴∠OAC=∠OBC=90°.∵∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,∴劣弧AB的长==16π(cm).
4.C　如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=4.5,∴AB=2BC=9.
5.B　∵AD是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴BA⊥AD.∵∠ADB=58.5°,∴∠B=90°-∠ADB=31.5°.∵点A是的中点,∴=,∴∠ACE=∠B=31.5°.
6.C　如图,连接AO,作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,∵点O为△ABC的内心,
∴OM=ON,∠DAO=∠EAO.∵AD=AE=10,DE=12,∴OD=OE=6,∠AOD=90°.在Rt△AOD中,AO===8.∵S△AOD=AO·OD=AD·OM,∴OM=ON==4.8.
∵BC=20,∴S△OBC=BC·ON=×20×4.8=48.
A　如图,连接BD,∵AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E,∴CE=DE=CD=
3.设☉O的半径为r,在Rt△OED中,OD2=OE2+DE2,即r2=(9-r)2+(3)2,解得r=6,∴OE=BE=3,则CD垂直平分OB,∴OD=BD=OB,∴△OBD是等边三角形,
∴∠EOD=60°,∴S扇形BOD=π×36=6π,又SRt△OED=×3×3= ,
∴根据对称性可知S阴影=6π- .
D　如图,作DH⊥BC于点H,∵四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,AB⊥AD,∴四边形ABHD为矩形,BH=AD,DH=AB.∵AB为直径,∴AD和BC为☉O的切线.∵CD和MN为☉O的切线,∴DE=DA,CE=CB,NE=NF,MB=MF,
∴△CMN的周长=CN+MN+CM=CE+CB=2CB,即y=2CB,∴CB=CE=.∵☉O的半径为3,
∴AB=6.∵AD=x,∴CH=-x,CD=+x.在Rt△CDH中,∵CD2-CH2=DH2,∴-=36,整理得y=.
9.D　如图,过点B作BC⊥x轴于点C,作BD⊥y轴于点D.解方程组得
∴A(3,4),B(6,8),∴BC=8,BD=6.由勾股定理可得OB==10,同理可得OA=5,∴AB=5.∵☉B的半径为8,∴点O在☉B外,点A在☉B内,x轴与☉B相切,y轴与☉B相交,故正确的有4个.故选D.
10.A　∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∴∠DOE=2∠A=90°.∵EF与FD为☉O的切线,∴OD⊥DF,OE⊥EF,∴四边形ODFE是矩形.∵OD=OE=4,∴四边形ODFE是正方形,∴EF=4.∵点F恰好是腰BC上的点,∴∠ECF=90°,∴点C在以EF为直径的半圆上运动,设EF的中点为G,连接CG、OG,则EG=FG=CG=EF=2,易知当OC经过半圆圆心G时,OC的值最大,∵在Rt△OEG中,OG===2,∴OC最大=OG+CG=2+2.
11.圆内不是直径的两条弦,能互相平分
解析　利用反证法证明时,先假设命题的结论不成立,即本题假设“圆内不是直径的两条弦,能互相平分”.
12.140°
解析　∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD=80°,∴∠BAD=∠BOD=40°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-40°=140°.
13.
解析　∵CD⊥AB于点E,CD=10,∴CE=CD=5,∠OEC=90°.设OB=OC=x,则OE=x-2,在Rt△OCE中,∵CE2+OE2=OC2,∴52+(x-2)2=x2,解得x=,即OC=.
14.π
解析　如图,过B点作BO⊥AC于O点,∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC==5.∵BO·AC=AB·BC,∴OB==,∴所得几何体的全面积=×2π××4+×2π××3=π.
15.3
解析　如图,连接OE,由题意可知:AB⊥CD,AE=AO=EO,
∴∠AOC=90°,∠AOE=60°,∴∠EOC=30°,∵360°÷30°=12,∴EC是该圆内接正十二边形的一边.作EG⊥OC于点G,则EG=OE=,
∴正十二边形的面积为12S△COE=12×OC·EG=12××1×=3.
16.2+
解析　以AB为一边作等边△OAB,以点O为圆心,OA的长为半径作☉O,∵动点C满足∠ACB=30°=∠AOB,∴点C为☉O上的动点.连接CM,如图,当CM经过圆心O时,CM最大,且CM⊥AB,此时△ABC的面积最大.连接AN,∵M、N分别是线段AB、BC的中点,∴S△BMN=S△ABN=S△ABC,∴当△ABC的面积最大时,△BMN的面积最大.
∵AB=4,∴OA=OC=4,AM=2,∴OM=2,∴CM=4+2.
∴S△BMN=S△ABC=××4×(4+2)=2+,∴△BMN的面积的最大值为2+.
17.解析　(1)(2,0).
(2)直线CD与☉M相切.理由:如图,连接MC,MD,
∵MC2=42+22=20,CD2=42+22=20,MD2=62+22=40,∴MD2=MC2+CD2,∴∠MCD=90°.又∵MC为半径,
∴直线CD是☉M的切线.
18.解析　(1)证明:∵CE⊥AB,AB是直径,∴=.
又∵=,∴=,
∴∠CAD=∠ACE,∴AP=CP.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCP=90°,∠CAD+∠CQA=90°,
∴∠BCP=∠CQA,∴CP=PQ,
∴AP=PQ,即P是线段AQ的中点.
(2)∵==,AB是直径,
∴∠ACB=90°,∠ABC=30°.
又∵AB=5×2=10,∴AC=5,BC=5,
∴CH=BC=.
又∵CE⊥AB,∴CH=EH,
∴CE=2CH=2×=5.
19.解析　(1)证明:如图,连接OD,
∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠A=60°.
∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,
∴∠CDO=∠A=60°,∴OD∥AB.
∵DF⊥AB,
∴OD⊥DF,∴DF是☉O的切线.
(2)如图,连接BD,∵BC是☉O的直径,∴BD⊥CD,∵△ABC是等边三角形,∴CD=AD.
∵∠AFD=90°,∠A=60°,∴∠ADF=30°.
∵AF=1,∴CD=OD=AD=2AF=2.
由勾股定理得DF2=3,
在Rt△ODF中,OF===,
∴线段OF的长为.
20.解析　(1)如图,连接OC,则∠COP=2∠D=52°.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=×(180°-52°)=64°.
∵CP为☉O的切线,∴OC⊥PC,
∴∠PCB=90°-64°=26°.
(2)如图,连接AC,OC,
∵四边形CDBP为平行四边形,∴∠CDB=∠CPB.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵PC与☉O相切,∴∠PCO=90°,即∠BCP+∠OCB=90°,∴∠ACO=∠BCP,
∵∠OAC=∠ACO,∠OAC=∠BDC,
∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠BDC=∠CPB,
在△ACP中,∠CAB+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°,
∴∠CAB+∠BCP+∠CPB=90°,
∴∠PCB=∠CAB=∠CPB=30°,∴∠OBC=60°.
∵四边形ABCD为☉O内接四边形,
∴∠ADC=180°-∠ABC=120°.
21.解析　(1)证明:∵△ABC是正三角形,
∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,
在△ABN和△BCM中,
∴△ABN≌△BCM(SAS),∴∠ABN=∠BCM.
又∵∠ABN+∠OBC=60°,∴∠BCM+∠OBC=60°,
∴∠NOC=60°.
(2)∠DON=90°.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB,
又∵AM=BN,∴△ABN≌△DAM(SAS),
∴∠ADM=∠BAN,
又∵∠ADM+∠AMD=90°,∴∠BAN+∠AMD=90°,
∴∠AOM=90°,则∠DON=90°.
(3)AN=EM;∠EON=108°.
详解:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠BAE=∠B=108°,AB=AE,
又∵AM=BN,∴△ABN≌△EAM(SAS),
∴AN=ME,∠AEM=∠BAN,∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°.