苏教版（2019）高中数学必修第一册《7.3.1三角函数的周期性》精品 课件（共15张PPT）

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7.3.1 三角函数的周期性
情境引入
问题1：观察视频中昼夜交替、四季交换、摆钟摇摆的现象，有什么共同特点？你能发现什么规律？你还能举出生活中有这种规律的现象吗？
让学生观看视频，回答问题，列举生活中的其他具有周期性的现象，体会周期的含义.
教师总结：每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期到星期日，地球每天都绕着太阳公转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返，这些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这种现象就是周期现象.
设计意图：让学生感受生活中的周期问题，知道每种现象中的周期是多少，体会周期的含义，同时感受生活中的数学.
问题2：观察计算机数据中三角函数在x取不同值时函数值的变化，你能发现什么规律？
学生通过观察角的变化、函数值的变化，说出自己发现的规律，找到相应的等式，结合诱导公式，推出等式：，且.
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
情境引入
设计意图：利用具体的数据，让学生感受三角函数周期性的含义.能推出三角函数的周期，理解周期的含义，并且借由此题思考，函数周期性的定义是什么.从具体到抽象，从实际到理论，培养学生的观察、分析概括能力和逻辑推理能力，学会用数学的语言表达生活中的数学现象.
问题3（动点P点的圆周运动）：如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动点P的运动轨迹是：然点P的运动是周期运动.
情境引入
设圆的半径为2，点P每4分钟运动一周设P到A的的其他具有距离为y，运动时间为t，则y是t的函数记为.
则，（位置在A点）
（位置在C点）
一般地，点P运动分钟到达的位置与运动分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：.
想一想：与有什么关系？说说它们的实际意义.
学生通过观察分析，小组合作，得到，（运行时间不等但最终位置相同），并让学生用描点法画出这个函数的图象（如图），说出它的特说出自己发点：在区间内重复.
情境引入
设计意图：通过点P的运动，感受周期性在数学中的普遍存在性，进一步推导出周期函数具有的等式关系，得到周期性的定义，结合问题1,2,3，由生活中的周期现象到数学中的周期现象，由具体到抽象，构建出周期函数的定义，这样设计主要是培养学生观察、分析和抽象概括的能力，并进一步渗透数形结合思想方法.
探究新知
通过上述问题的分析与探究，得到本节课的重点知识：
1.周期函数及周期的定义.
周期函数定义如下：
一般地，设函数的定义域为A.如果存在个非零的常数T，使得对于任意的，都有，并且，那么函数就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
说明：①周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；.
②周期函数的周期不唯一.若T是函数的周期，那么2T也是函数的周期.这是因为，若T是函数的周期，且，则也是函数的周期.
是函数和的周期.那么也是函数和的周期.
③周期函数的图象具有“周而复始”的特征.
探究新知
2.最小正周期的概念:
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作的最小正周期.
上面的函数的最小正周期为另外，余弦函数、正切函数也都是周期函数，余弦函数的最小正周期为正切函数的最小正周期为.
说明：①周期函数不一定存在最小正周期.
②今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.
典例剖析
例1、已知作周期性运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
（2）求时钟摆的高度.
（1）由图象可知，该函数的周期为.
（2）设，由函数的周期为1.5s，可知.
所以时钟摆的高度为20mm.
解析
设计意图：使学生加深对周期函数定义的理解，能利用函数的周期性解决求值问题，培养学生的数形结合能力.
典例剖析
例2、求函数的周期.
解析
设周期为T，则，即对任意实数x都成立.也就是对任意实数u都成立，其中.
由的周期为，可知使得对任意实数u都成立的2T的最小正值为，可知，即.
所以的周期为.
注意：①本题解答中运用了换元方法，；②的（最小正）周期是，即；③的周期与的周期是两个不同的概念.
设计意图：进一步理解周期函数的含义，能利用周期函数的定义推导出周期函数的周期，培养学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.
典例剖析
思考：函数（其中为常数，且）的周期是多少？你能证明吗？
小结：函数及 （其中为常数，且）的周期为，函数 （其中为常数，且）的周期为.
设计意图：进一步巩固利用周期函数的定义推导周期函数的周期，同时让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，推导出，的周期公式，不断完善自已的认知结构.
典例剖析
在学生理解了周期函数的定义后，给出下列练习题：
1.判断下列说法的对错，并说明理由：
（1）因为，所以是函数的周期；（ ）
（2）如果对任意的实数x，都有，则函数的最小正周期是；（ ）
（3）因为，所以不是函数的周期.（ ）
学生回答对错的同时，解释理由教师进行点评，引导学生结合定义分析，学生谈体会.
解析
（1）周期函数定义是对定义域中任意x，皆有，T是的周期，这里注意“任意”两字的含义；（2）最小正周期是，记，对任意实数x，都有，所以最小正周期是；（3）正确，只要有一个实数x不满足，则T不是函数的周期.
错
错
对
典例剖析
设计意图：设计判断题让学生讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数的概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念，同时培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质.让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完善自已的认知结构.
典例剖析
2.求下列函数的周期：
（1）；（2）；（3）.
解析
（1）；（2），；
（3）.
设计意图：巩固函数，函数，函数（其中为常数，且）的最小正周期的公式.
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
1.周期函数、周期概念：
一般地设函数的定义域为A.如果存在个非零的常数T，使得对于任意的，都有，并且，那么函数就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
2.函数和函数是周期函数，且周期为.
3.函数是周期函数，且周期为.
4.周期函数和和（其中为常数，且）的周期的求法.
设计意图：引导学生对所学知识进行小结，有利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强记忆.
作 业
1.举例说明周期现象.
2.教材第183~184页练习第1~4题.
3.设为自然数，m除以5所得的商是p且余数是.显然q是m的函数，记.（1）写出该函数的值域；（2）该函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由.
设计意图：课外作业的布置是为了进一步巩固课堂所学知识；课外思考题的布置是让学生把课堂探索拓展到课外探索，进一步激发学生探究欲望，培养学生创造性思维.