《三角函数的图象与性质》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 “五点法”作图
一、选择题
1.用“五点法”作的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.画出下列函数的简图：
（1）；（2）.
必备知识2 三角函数的定义域
3.函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.函数的定义域为________.
5.函数的定义域为________.
必备知识3 三角函数的值域
一、填空题
6.函数的值域为________.
7.函数的定义域为________，值域为________.
必备知识4 三角函数的单调性
一、选择题
8.下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（ ）
A.在上是增函数，在上是减函数
B.在上是增函数，在和上都是减函数
C.在上是增函数，在上是减函数
D.在和上是增函数，在上是减函数
9.函数的一个递减区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识5 三角函数的奇偶性和对称性
一、选择题
10.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是（ ）
A.最大值为1，图象关于直线对称
B.在上单调递减为奇函数
C.在上单调递增，为偶函数
D.周期为，图象关于点对称
二、解答题
11.判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）.
关键能力练
关键能力1 利用三角函数的图象解三角函数不等式
一、选择题
12.在上，若，则的范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知x满足，则角x的取值范围为_________.
关键能力2 三角函数的图象问题
一、选择题
14.函数的简图是（ ）
A.
B.
C.
D.
15.函数在区间内的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
关键能力3 数形结合思想的应用
一、填空题
16.若的图象与x轴在区间上至少含有30个交点，则的最小值为________.
二、解答题
17.判断方程的解的个数.
18.已知函数.
（1）求函数与的图象的交点；
（2）在同一坐标系中，画出的草图，根据图象：
①写出满足的实数x的取值范围；
②写出这两个函数具有的相同的单调区间.
关键能力4 整体思想的应用
一、填空题
19.若函数，且，则________.
二、解答题
20.函数，若对一切恒成立，求实数a的取值范围.
关键能力5 与三角函数有关的含参问题
一、解答题
21.已知函数，其中.
（1）当时，求函数的最大值与最小值；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数.
22.已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）对于区间上的任意x，都有成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1.
答案：B
解析：由知五个点的横坐标是0，.
2.
答案：见解析
解析：（1）列表如下：
描点，连线如图：
（2）列表如下：
描点，连线如图：
3.
答案：D
解析：，所以，所以，所以.
4.
答案：
解析：，即
可得
化简得解得.故函数的定义域为.
5.
答案：
解析：根据题意有，有，解得，故定义域为.
6
答案：
解析：.在区间上单调递减，且在区间上也单调递减，，即的值域为.
7.
答案：
解析：由题意，可知，根据正弦函数图象，得，即函数的定义域为，此时，则函数的值域为.
8.
答案：B
解析：的单调递增区间为，单调递减区间为在上是增函数，在和上都是减函数.
9.
答案：A
解析：，由，得.取，得函数的一个递减区间是.
10.
答案：B
解析：函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，函数在上为单调递减的奇函数.
11.
答案：见解析
解析：（1）定义域为，则为奇函数；
（2）由且，则，解得，，则定义域关于原点对称，由于，则，且，则既是奇函数，也是偶函数.
12.
答案：C
解析：，当时，，则时上式成立；当时，，则时上式成立.综上所述，在上满足的取值范围为.
13.
答案：或
解析：如图，先观察一个周期，
易得：.
角x的取值范围.
又的周期为，
角的取值范围为或.
14.
答案：B
解析：的图象可看作是由的图象关于x轴对称后得到的.
15.
答案：D
解析：当时，时，.
16.
答案：
解析：根据，即，
故，或，
的图象与x轴在区间上至少含有30个交点，
不妨假设（此时，），则此时b的最小值为，此时，，
的最小值为.
17.
答案：见解析
解析：设.在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图.
由图知和的图象仅有一个交点，即方程仅有1个解.
18.
答案：见解析
解析：（1）令得，
，或，
或.
，
的图象交点为.
（2）画出函数的图象如下：
①由图象可知的实数x的取值范围是.
②由图象可知函数和在上全都单调递增.
19.
答案：见解析
解析：，又.即.
20.
答案：见解析
解析：设，则.
当时，y取到最大值；
当时，y取到最小值.
则解得.
21.
答案：见解析
解析：（1）当时，，
所以当时，的最小值为：当时，的最大值为.
（2）函数的图象的对称轴为，要使在区间上是单调函数，必须有或，即或.又，所以的取值范围是.
22.
答案：见解析
解析：（1）当时，.
所以当时，取最大值为.
（2）.
令.
则原函数化为.
由，得在上成立，
即，也就是在上成立.
令，由对勾函数的单调性可得在上单调递减，则的最小值为.即实数a的取值范是.
1 / 14《三角函数的图象与性质（2）》智能提升
一、选择题
1.在下列直线中，与函数的图象不相交的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.下列不等式中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.函数的值域是（ ）
A.
B.
C.
D.以上均不对
二、填空题
4.函数的定义域是________.
5.关于x的函数有以下说法:
（1）对任意的既不是奇函数也不是偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的都不是偶函数.
其中不正确的说法的序号是________，因为当________，该说法不成立.
6.函数图象的一个对称中心为，其中，则点对应的坐标为________.
三、解答题
7.求函数的定义域.
8.已知，求的最值及相应的x值.
9.设函数.
（1）求函数的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式的解集.
参考答案
1.
答案：C
解析：由得，，令得，.
2.
答案：D
解析：；
；
；
，
.
又，所以.
3.
答案：C
解析：，且函数在上为增函数，，即.
4.
答案：
解析：要使函数有意义，必须该函数的定义域是.
5.
答案：（1）
解析：对于（1），显然当时，，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确.（2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的都不可能恒为零，从而不存在，使既是奇函数，又是偶函数；（4）是正确的，不存在这样的，使是偶函数.因此本题不正确的说法的序号是（1）.
6.
答案：
解析：图象的一个对称中心为.
由，得，
当时，，
则点对应的坐标为.
7.
答案：见解析
解析：由题意可得
，且.
函数的定义域为.
8.
答案：见解析
解析：.
，
当即时，有最小值1，
当即时，有最大值5.
9.
答案：见解析
解析：（1）由得.
所以函数的定义域是.
因为，所以周期.
由，得.
所以函数的单调递增区间是，没有单调减区间.
（2）由，得，解得.
所以不等式的解集是.
1 / 5《三角函数的图象与性质（2）》同步练习
一、选择题
1.函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知函数的图象过点，则可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数，下列判断正确的是（ ）
A.是定义域上的增函数，且周期是
B.在上是增函数，且周期是
C.在上是减函数，且周期是
D.在上是减函数且周期是
二、填空题
4.将按从小到大的顺序排列，依次是________.
5.函数的值域为________.
6.函数在上的大致图象依次是________（填序号）.
三、解答题
7.求函数的定义域、周期及单调区间.
8.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
9.比较与的大小.
参考答案
1.
答案：A
解析：要使函数有意义，需，解之得.
2.
答案：C
解析：当时，时，.
3.
答案：C
解析：利用正切函数的周期性和单调性可得.
4.
答案：
解析：，由的正切线与正弦线可知；.
5.
答案:
解析：函数，因为，且正切函数在上是增函数，所以，所以值域为.
6.
答案：①②④③
解析：图象在x轴上方，对应①；是偶函数，图象关于y轴对称，对应③；而与关于y轴对称，对应④，对应②，故四个图象依次是①②④③.
7.
答案：见解析
解析：由，得.
所以函数的定义域为.
，所以函数的周期为.
由，得，
所以函数的单调递增区间为.
8.
答案：见解析
解析：（1）函数定义域不关于原点对称，它是非奇非偶函数.
（2）由或.故函数的定义域为.
又.
为奇函数.
9.
答案：见解析
解析：，
在内单调递增，
，
即.
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