《三角函数的周期性》智能提升
一、选择题
1.设函数，则为（ ）
A.周期函数，周期为
B.周期函数，周期为
C.周期函数，周期为
D.非周期函数
2.已知函数是定义在R上周期为4的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A.
B.
C.1
D.3
3.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A.
B.2
C.
D.98
二、填空题
4.已知函数，其中，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有个周期，则最小正整数k的值为_____.
5.已知函数（k为正整数），要使的周期在内，则正整数k的最小值为_____，最大值为_____.
6.设是定义在R上的奇函数，且，，则_____.
三、解答题
7.已知偶函数满足条件，当时，.求的值.
8.已知函数对任意实数x，满足条件.
（1）求证：函数是周期函数；
（2）若，求的值.
9.设函数在R上满足，，且在闭区间[0,8]上只有.
（1）求证：函数是周期函数；
（2）求函数在闭区间上使函数值为0的x值.
参考答案
1.
答案：A
解析：
2.
答案：B
解析：由题意，函数是定义在R上周期为4的奇函数，所以.又时，，则，所以.
3.
答案：A
解析：根据题意，函数满足，则，则函数是周期为4的周期函数.则，又由函数为奇函数，则，所以.
4.
答案：63
解析：函数的周期为，且由题意知，即，又，最小正整数k的值为63.
5.
答案：15 28
解析：由周期公式，得.由题意知.因为，所以，即，又k为正整数，所以.
6.
答案：
解析：由得，则，由得，即，所以，.
所以.
7.
答案：见解析
解析：，，是周期为2的函数.
，.又为偶函数，且，，当时，.
.
8.
答案：见解析
解析：（1）因为对任意实数x，满足条件，
所以，
所以是周期函数，且的周期为4.
（2），.
9.
答案：见解析
解析：（1）由，得，所以函数是周期函数，且周期为10.
（2）由知，，
，
，，函数在闭区间上使函数值为0的x值分别有：.
1 / 5《三角函数的周期性》同步练习
一、选择题
1.下列函数中，周期为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.的周期为，其中，则（ ）
A.10
B.5
C.20
D.
3.交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为_____.
5.若函数的周期T满足,则自然数k的值为_____.
6.函数是定义在R上的周期为3的奇函数，且，则_____.
三、解答题
7.求下列函数的周期：
（1）；
（2）.
8.设在R上是奇函数，满足，若函数是增函数，求的值.
9.已知函数，，，，求.
参考答案
1.
答案：D
解析：的周期为，的周期为，的周期为，的周期为.
2.
答案：A
解析：.
3.
答案：A
解析：最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期.
4.
答案：13
解析：，，正整数k的最小值为13.
5.
答案：2或3
解析：由，，，
.又，或3.
6.
答案：
解析：因为是定义在R上的周期为3的奇函数，所以且.又，所以.
7.
答案：见解析
解析：（1），又.
函数的周期.
（2）当时，，当时，.
综上可知，.
8.
答案：见解析
解析：由，得，
.
是以4为周期的周期函数.
是R上的奇函数，
.
若，则，与是增函数矛盾.，此时.
.
9.
答案：见解析
解析：由，①得，②
①式+②式，得.
，
是函数的周期.
.
1 / 4《三角函数的周期性》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 周期函数的定义
一、填空题
1.已知对任意的，都有，则的周期为_____.
2.已知对任意的，都有，则的周期为_____.
3.若函数满足，则此函数的周期为_____.
4.若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为_____.
必备知识2 三角函数的周期
一、填空题
5.函数的周期为_____.
6.已知函数的周期为，则_____
关键能力练
关键能力1 利用周期性求值
一、填空题
7.设是定义在R上的奇函数，，且，则_____，_____.
8.定义在R上的函数满足则的值为_____.
关键能力2 三角函数的周期的求法和应用
一、选择题
9.如果函数的周期是T，且当时取得最大值，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
10.若函数的周期T满足，则自然数k的值为_____.
关键能力3 周期性的综合应用
一、解答题
11.已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，.
（1）求证：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算的值.
12.已知函数的定义域为R，且满足.
（1）求证：是周期函数；
（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有x的个数.
关键能力4 周期性的实际应用
一、填空题
13.如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_____s往复一次.
14.某人的血压满足函数式,其中为血压为时间（min），则此人每分钟心跳次数是_____.
答案与点拨
1.
答案：2
解析：因为，所以的周期为2.
2.
答案：6
解析：因为，所以的周期为6.
3.
答案：4
解析：因为，所以，所以函数的周期为4.
4.
答案：（或的正整数倍中的任何一个也正确）
解析：令，则，依题意有，此式对任意都成立，而且为常数，因此，是一个周期函数，是一个正周期.
5.
答案：
解析：.
6.
答案：
解析：.
7.
答案：5 5
解析：由，得，所以，，.
8.
答案：1
解析：由已知得，，，
，，，，，
，函数的值以6为周期重复出现，
.
9.
答案：A
解析：，又，且当时，取得最大值，.
10.
答案：1
解析：由，，，，又，.
11.
答案：见解析
解析：（1）函数为奇函数，则.函数的图象关于对称，则，所以，所以是以4为周期的周期函数.
（2）当时，.又的图象关于对称，则，.（3），，，
.又是以4为周期的周期函数.
.
12.
答案：见解析
解析：（1），，是以4为周期的周期函数.
（2）当时，，设，则，.
是奇函数，，，即故
.
又设，则，.
又是以4为周期的周期函数，，，.
由，解得.即一个周期内只有一个使.因为是以4为周期的周期函数，，所以在[0,2012]内有503个x使.在内没有.所以在[0,20,14]上的使的x的个数为503.
13.
答案：0.8
解析：由图象知周期，则这个简谐运动需要往复一次.
14.
答案：80
解析：由题意，故此人每分钟的心跳次数为.
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