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5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
注意点：
(1)只有当α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立．
(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”．
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝－1.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 化简求值
例1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
(3)；(4)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解：(1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan 75°
＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋；
(2)∵tan 45°＝＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°
∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.
(3)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.
(4)∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
反思总结 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
(3)；(4)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.
解：(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－.
(3)原式＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(4)由tan(α＋β)＝的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°，
所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.
题型二 给值求值(角)
例2 (1)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B. C. D.－
答案：A
解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，即tan α＝－.∵tan(π－β)＝－tan β，故tan β＝－.∴tan(α－β)＝＝＝－.
(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
解：∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝.
反思总结 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．
跟踪训练2 (1)已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为( )
A.－ B. C.－ D.
答案：C
解析：∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，∴tan α＝－.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－.
(2)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解：∵tan β＝－，tan(α－β)＝，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1.
∵tan α＝>0，tan β＝－<0，
∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)．
又∵tan(α－β)＝>0，
∴α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π.
题型三 三角形中的问题
例3 (1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________.
答案：2
解析：由题意可知由两角和的正切公式得tan(A＋B)＝＝＝－2，又A＋B＋C＝π，所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
解：∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又∵0
∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰钝角三角形．
反思总结 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．
跟踪训练3 (1)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A. B.－ C.－或 D.无法确定
答案：B
解析：由已知得所以tan(α＋β)＝＝＝，
又由①②可知tan α<0，tan β<0.∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－π.故选B.
(2)已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
证明：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝＝－tan C.
∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B.－ C.3 D.－3
答案：A
解析：tan(α－β)＝＝＝.
2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.不确定
答案：B
解析：(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.
3.已知α∈，sin α＝，则tan的值等于( )
A. B.7 C.－ D.－7
答案：A
4.若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
A. B.－ C.－7 D.－
答案：C
5.已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
6.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
答案：A
解析：∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，∴C为钝角．
7.若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.a B.(1－a) C.(a－1) D.(a＋1)
答案：B
解析：∵tan(28°＋32°)＝＝， ∴tan 28°＋tan 32°＝(1－a)．
8.化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A.1 B.2 C.tan 10° D.tan 20°
答案：A
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)＝×＝1.
9.已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－1.又α＋β∈，故α＋β＝.
10.tan 15°＋tan 105°等于( )
A.－2 B.2＋ C.4 D.
答案：A
解析：tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝＋＝－2，故选A.
二、填空题
11.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
答案：
解析：∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.∵012.已知tan＝，tan＝－，则tan＝ .
答案：
解析：tan＝tan＝＝＝.
13.设tan θ＝2，则tan＝________，＝________.
答案：－3
解析：由tan θ＝2，得tan＝＝－3，＝＝.
14.已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
答案：1
解析：∵tan β＝＝. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
15.已知tan＝2，则的值为 ．
答案：
解析：∵tan＝2，∴＝2，解得tan α＝.∴＝＝＝＝.
三、解答题
16.求下列各式的值．(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
解：(1)原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
17.已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解：由已知有∴tan(α＋β)＝＝＝.
∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝＝
＝＝－3.
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
19.是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，
(2)tantan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，∴tan＝＝.
又tan tan β＝2－，
∴tan ＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
∴tan ＝2－，tan β＝1，
∴α＝，β＝，
∴满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.1 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
注意点：
(1)只有当α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立．
(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”．
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝－1.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 化简求值
例1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.
(3)；(4)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
反思总结 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
(3)；(4)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.
题型二 给值求值(角)
例2 (1)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A.－ B. C. D.－
(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
反思总结 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．
跟踪训练2 (1)已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为( )
A.－ B. C.－ D.
(2)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
题型三 三角形中的问题
例3 (1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________.
(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
反思总结 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．
跟踪训练3 (1)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A. B.－ C.－或 D.无法确定
(2)已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
习题精练 基础巩固 强化落实
选择题
1.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B.－ C.3 D.－3
2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.不确定
3.已知α∈，sin α＝，则tan的值等于( )
A. B.7 C.－ D.－7
4.若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
A. B.－ C.－7 D.－
5.已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A. B. C. D.
6.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7.若tan 28°tan 32°＝a，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.a B.(1－a) C.(a－1) D.(a＋1)
8.化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A.1 B.2 C.tan 10° D.tan 20°
9.已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A. B. C. D.
10.tan 15°＋tan 105°等于( )
A.－2 B.2＋ C.4 D.
二、填空题
11.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝ .
12.已知tan＝，tan＝－，则tan＝ .
13.设tan θ＝2，则tan＝________，＝________.
14.已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
15.已知tan＝2，则的值为 ．
三、解答题
16.求下列各式的值．(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
17.已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
19.是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
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