7.4 三角函数应用
基础过关
三角函数模型在物理中的应用
1.如图是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期T=0.7 s
B.该质点的振幅A=-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度v最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin2πt+,则单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s
3.在电流强度I(A)与时间t(s)的关系I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,要使t在任意 s的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值-A,则正整数ω的最小值为 .
4.弹簧振子的振动是简谐运动,已知振幅为2 cm,周期为3 s,且从弹簧振子振动到最低点时开始计时,并记向上的方向为正方向.
(1)求弹簧振子对平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2)确定弹簧振子在t=5时的位置.
三角函数模型在实际生活中的应用
5.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:米)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
6.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒,半径为3米,水车中心(即圆心)距水面米.若以圆心到水面的垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),水车的一个水斗从出水面点A处开始计时,经过t秒后转到P点的位置,则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为( )
A.h=3sin B.h=+3
C.h=3cos D.h=+3
7.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间(单位:分钟),则此人每分钟心跳的次数为 .
8.已知某地一天从4时到16时的温度(℃)变化曲线近似满足函数关系式y=10sin+20,x∈[4,16].
(1)求该地这段时间内的温差;
(2)如果有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间
三角函数模型的建立及应用
9.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表:
月份/x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温/y -5.9 -3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 -2.4
则适合这组数据的函数模型是( )
A.y=acos
B.y=acos+k(a>0,k>0)
C.y=-acos+k(a>0,k>0)
D.y=acos-3
10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<的函数模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份达到最低价5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A. f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)
B. f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*)
C. f(x)=2x+7(1≤x≤12,x∈N*)
D. f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)
11.某个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的对应值如下表所示:
t(s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y(cm) -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间关系的一个正弦型函数解析式为 .
12.已知受噪声干扰的正弦型波信号的相关信号图象如图所示,此图象可以视为y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一部分,此函数的解析式是 .
13.如图,某动物种群数量2019年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在这两个值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).
(1)求出种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计2019年3月1日动物种群数量.
14.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物
答案全解全析
7.4 三角函数应用
基础过关
1.D 由题图及简谐运动的有关知识知T=0.8 s,A=5 cm,当t=0.1 s及t=0.5 s时,v=0,故排除选项A,B,C.故选D.
2.D 依题意知是求函数s=6sin的最小正周期T,T==1(s),故选D.
3.答案 629
解析 由题意得最小正周期T≤,
即≤,故ω≥200π,
故正整数ω的最小值为629.
4.解析 (1)设s(cm)与t(s)之间的函数关系式是s=2sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π),
由题意知最小正周期T==3,得ω=.
当t=0时,s=2sin φ=-2,即sin φ=-1.
因为0≤φ<2π,所以φ=,
所以函数关系式是s=2sin=-2cost.
(2)令t=5,则s=-2cos=1(cm),
则弹簧振子在t=5时的位置是在平衡位置上方1 cm处.
5.C 由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,
故ymax=k+3=8.
6.A 由最小正周期T=,T=80,得ω=,
设水车中心(即圆心)为C,连接CP,作CM∥OA,交圆C于点M,过P作CM的垂线,如图所示,由OC=,CA=3,CM∥OA,得∠CAO=∠ACM=,
由正弦函数的定义可得经过t秒后转到P点的位置时,点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为h=3sin,
故选A.
7.答案 80
解析 每分钟心跳的次数为=80.
8.解析 (1)当x=14时,函数取最大值,此时最高温度为30 ℃;当x=6时,函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,故该地这段时间内的温差为30-10=20(℃).
(2)令10sin+20=15,
得sin,
所以+2kπ(k∈Z),
又因为x∈[4,16],所以x=;
令10sin+20=25,
得sin,
所以+2kπ(k∈Z),
又因为x∈[4,16],所以x=.
故该细菌能存活的最长时间为(小时).
9.C 当x=1时,月平均气温最低,为-5.9 ℃,当x=7时,月平均气温最高,为22.8 ℃,则a=>0,结合选项易知C正确.
10.A 由题意得A==2,b=7,最小正周期T==2×(7-3)=8,则ω=.
∴f(x)=2sin+7.
∵当x=3时,y=9,
∴2sin+7=9,
∴sin=1,
∴+2kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=-.
∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).
11.答案 y=4sin
解析 由题表中的数据可得y的最大值为4.0,最小值为-4.0,设函数解析式为y=4sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),又由题表中的数据知周期为0.8 s,则,解得ω=,故y=4sin.将(0.4,4.0)代入,得4=4sin(π+φ),
可得φ=2kπ-,k∈Z,
又∵|φ|<π,∴φ=-,
∴y=4sin.
12.答案 y=3sin
解析 由题图知,信号最大、最小时的波动幅度分别为3、-3,,
∴A=3,T=π,∴ω==2,
∴y=3sin(2x+φ).
由题图知,函数图象过点,
∴×2+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,∴φ=,
∴所求函数的解析式为y=3sin.
13.解析 (1)设种群数量y关于时间t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
则
解得
又∵最小正周期T=12,
∴ω=,
∴y=100sin+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sin+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin φ=-1,
∵0<|φ|<π,
∴φ=-,
∴y=100sin+800.
(2)当t=2时,y=100sin+800=750,
即2019年3月1日动物种群数量约是750.
14.解析 (1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知, f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得
根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,
故sin=-1,
且sin=1.
又因为0<|φ|<π,所以φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.
(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简得sin≥,
即2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物.
2 / 127.4 三角函数应用
能力提升
三角函数模型在物理中的应用
1.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(0<φ<π)的图象如图所示,则t为(s)时的电流强度为( )
A.0 A B.-5 A C.10 A D.-10 A
2.两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos 2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
3.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有两个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 .
4.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段 s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,求ω的最小正整数值.
三角函数模型在实际生活中的应用
5.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖指向位置P(x,y).若初始位置为P0,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
6.如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The London Eye)是世界上首座、也曾经是世界上最大的观景摩天轮,已知其旋转半径为60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,若某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为( )
A.95米 B.100米
C.105米 D.110米
7.车流量是指单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(其中0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则在下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
8.如图,水车的半径为R,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,若P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列错误的是( )
A.R=6,ω=
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减
D.当t=20时,|PA|=6
9.如图,某大风车的圆心为O1,半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为点A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )
A.5米 B.(4+)米
C.(4+)米 D.(4+)米
10.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
11.函数y=sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则ω的值为 .
12.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用余弦型函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,…,12,A>0)来表示,已知6月份的月平均气温达到最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为 ℃.
13.如图,摩天轮的半径为50 m,圆心O距地面的高度为65 m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每30 min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.
(1)游客进入摩天轮的舱位,开始转动t min后,他距离地面的高度为h,求h关于t的函数关系式;
(2)已知在距离地面超过40 m的高度,游客可以观看到游乐场全景,则在摩天轮转动一圈的过程中,游客可以观看到游乐场全景的时间是多少
14.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行,已知圆的半径为1米,圆的圆心O距离地面的高度为1.5米,蚂蚁爬行一圈需要4分钟,且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米)关于时刻t(分钟)的函数关系式;
(2)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内,有多长时间蚂蚁距离地面超过1米
答案全解全析
7.4 三角函数应用
能力提升
1.A 由题图知A=10,函数的最小正周期T=2×,则ω==100π,将点代入I=10sin(100πt+φ)得φ=,故函数解析式为I=10sin,将t=代入函数解析式得I=0.
2.C 当t=时,s1=5sin=-5,故s1=s2.
3.答案 7
解析 由T==4可知此波形的函数周期为4,显然当0≤x≤1时,函数单调递减;当14.解析 (1)由题图知A=300,设t1=-,则周期T=2(t2-t1)=2×,
则ω==150π.
又当t=时,I=0,
即sin=0,
则φ=kπ-,
而|φ|<,则φ=.
故所求的函数解析式为I=300sin.
(2)依题意得,周期T≤,即≤(ω>0),∴ω≥300π≈942.5.
又ω∈N*,故所求ω的最小正整数值为943.
5.C 由题意,函数的周期为T=60,
∴ω=.
设函数解析式为y=sin0<φ<,秒针是顺时针走动的.
∵初始位置为P0,
∴当t=0时,y=,∴sin φ=,∴φ=,
∴函数的解析式为y=sin.
故选C.
6.C 设此人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),
由题意可知A=60,B=135-60=75,T==30,则ω=,
即f(t)=60sin+75.
又因为f(0)=135-120=15,
所以60sin φ+75=15,
解得sin φ=-1,所以φ=,
所以f(t)=60sin+75
=-60cost+75,
所以f(10)=-60×cos+75=105.
故选C.
7.C 函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20),由2kπ-≤≤2kπ+(k∈Z)得4kπ-π≤t≤4kπ+π,则函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上单调递增,当k=1时,t∈[3π,5π],此时[10,15] [3π,5π].故选C.
8.C 由题意,R==6,最小正周期T=60=,
则ω=,当t=0时,y=f(0)=-3,代入可得-3=6sin φ,∵|φ|<,
∴φ=-,故A正确;
f(t)=6sin,当t∈[35,55]时,∈,则点P到x轴的距离的最大值为6,故B正确;
当t∈[10,25]时,∈,函数y=f(t)不单调,故C不正确;
当t=20时,,P的纵坐标为6,|PA|=,故D正确.
故选C.
9.D 以圆心O1为原点,水平方向为x轴方向,竖直方向为y轴方向,建立平面直角坐标系,如图所示.
连接O1P,设∠OO1P=θ,运动t秒后与地面的距离为f(t),又T=12,∴θ=t,
∴f(t)=3-2cost,t≥0,
风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,此时θ=6π+,1),
∴点P的高度为3-2×=4.
∵A(0,-3),∴AP=,
∴点P到点A的距离与点P的高度之和为(4+)米,故选D.
10.AB 由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,解得A=10,B=20.∵=14-6,∴T=16,A正确;
∵T=,
∴ω=,∴y=10sin+20.
∵图象经过点(14,30),
∴30=10sin+20,
∴sin=1,
∵0<φ<π,
∴φ=,
∴y=10sin+20(0≤x≤24),B正确,C错误;
这一天的函数关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,故D错误.故选AB.
11.答案
解析 根据题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形,且∠ACB为直角,取AB的中点D,由三角函数的最大值为1,最小值为-1,可得CD=1-(-1)=2,故AB的长度为2CD=4,又AB为函数的一个周期的长度,故可得4=,解得ω=.
12.答案 20.5
解析 由题意得∴
∴y=23+5cos,
∴当x=10时,y=23+5×=20.5.
13.解析 (1)以摩天轮的圆心为坐标原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系(图略).设游客的位置为点P.因为摩天轮按逆时针方向匀速转动,且每30 min转动一圈,所以OP在t min内所转过的角为.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为,所以P点的纵坐标为50sin,所以游客距离地面的高度h=50sin,t≥0.
(2)令h=65-50cos>40,
得cos,则2kπ+,即30k+5因为在距离地面超过40 m的高度,游客可以观看到游乐场全景,所以在摩天轮转动一圈的过程中,游客可以观看到游乐场全景的时间为25-5=20(min).
14.解析 (1)如图所示,设t时刻蚂蚁爬到A点,连接OA,过点A作AB⊥OP0,因为蚂蚁爬行一圈需要4分钟,所以在t时刻所转过的圆心角为∠BOA=t,
在Rt△OBA中,OB=cost,
所以h=1.5-cost.
(2)h=1.5-cost>1 cos ,
则持续时间为(分钟).
2 / 12
