《三角函数应用》智能提升
一、选择题
1.电流强度I（A）随时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是（ ）
A.A
B.5A
C.A
D.10A
2.已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t（单位：s）的函数关系式为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.一种波的波形为函数的图象，若其在区间上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题
4.已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续________min.
5.如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
6.如图为大型观览车在直角坐标平面内的示意图.O为观览车的轮轴中心，点O距离地面高为32m，观览车的转轮半径为30m，其逆时针旋转的角速度为1rad/s.点表示观览车上某座椅的初始位置，，此时座椅距地面的高度为_________m；当转轮逆时针转动ts后，点到达点P的位置，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为_________.
三、解答题
7.如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中.
（1）当时，小球离开平衡位置的位移是多少？
（2）若cm，小球每1s能往复摆动多少次？要使小球摆动的周期是1s，则线的长度应该调整为多少？
8.如图，某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
（1）求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）；
（2）估计当年3月1日动物种群数量.
9.2020年的元且，N市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数.从气象台得知：N市在该天的温度为1度到9度，其中最高气温只出现在14：00，最低气温只出现在2：00.
（1）求函数的表达式；
（2）若元旦当日M市的气温变化曲线也近似地满足函数，且气温变化也为1度到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比宁波迟了四个小时.
①求早上七时，N市与M市的两地温差；
②若同一时刻两地的温差不差过2度，我们称之为温度相近，求2020年元且当日，N市与M市温度相近的时长.
参考答案
1.
答案：A
解析：由图象知.点在图象上，.又当时，.
2.
答案：A
解析：由题意知，圆心角的弧度数为，则的弧度数为，则由任意角的三角函数的定义知，点P的纵坐标.
3.
答案：C
解析：函数的周期且时取得最大值，因此.
4.
答案：4
解析：，即，从而，即持续时间为4min.
5.
答案：
解析：，将代入得.
6.
答案：47
解析：所求高度为（m）；由已知得rad，所以rad.根据三角函数定义得.
7.
答案：见解析
解析：（1）当时，小球离开平衡位置的位移s是cm.
（2）因为周期，
所以频率，即小球每1s能往复摆动次.
要使小球摆动的周期是1s，即，解得，即线的长度应该调整为cm.
8.
答案：见解析
解析：（1）设动物种群数量y关于t的函数表达式为，
则解得.
又周期，
.
又当时，，
，
取，
.
（2）当时，，即估计当年3月1日动物种群数量是750只.
9.
答案：见解析
解析：（1）由已知可得.
最低气温只出现在凌晨2时，
.
又.
（2）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数，则
.
①当.
②由，解得或，则2020年元旦当日，N市与M市温度相近的时长为8小时.
1 / 6《三角函数应用》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 中的的物理意义
一、选择题
1.最大值为，最小正周期为，初相位为的函数表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
2.函数的振幅为_______，周期为_______，频率为_______，初相位为_______，相位为_______.
必备知识2 三角函数在生活中的应用
一、选择题
3.一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x（秒）满足函数关系式，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
4.一半径为4m的水轮（如图），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时.
（1）将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过4m.
必备知识3 三角函数在物理中的应用
一、选择题
5.一个物体的运动是简谐运动，位移x与时间t的关系为，则刚开始计时时，这个物体相对平衡位置处的位移是（ ）
A.20
B.
C.
D.
6.在两个弹簧上各有一个质量分别为和的小球做上下自由振动.已知它们在时间t（s）离开平衡位置的位移（cm）和（cm）分别由下列两式确定：.当时，与的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.不能确定
关键能力练
关键能力 数学建模能力和解模能力
一、选择题
7.夏季来临，人们注意避暑.如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A.25℃
B.26℃
C.27℃
D.28℃
二、解答题
8.弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t（s）内离开平衡位置（静止时的位置）的距离h（cm）由下面的函数关系式表示：.
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次？
（4）每秒内小球能往返振动多少次？
9.估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关.
（1）如在波士顿，，则在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（2）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时.
10.某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，估计哪个月份盈利最大.
11.为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多
（1）试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
（2）请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
参考答案
1.
答案：D
解析：由最小正周期为，排除A，B；由初相位为，排除C.
2.
答案：
解析：
3.
答案：A
解析：
4.
答案：见解析
解析：（1）建立如图所示的平面直角坐标系.
依题意知，.易知OP在ts内所转过的角为，故角是以为始边，OP为终边的角，故P点的纵坐标为，故所求函数关系式为.
（2）令，
即，
，
，
，
在水轮转动的一圈内，有5s的时间点P距水面的高度超过4m.
5.
答案：B
解析：刚开始计时，则，所以.
6.
答案：C
解析：当时，，所以.
7.
答案：C
解析：由题意及函数的图象可知，.又.又图象经过点可以取 .当时，.
8.
答案：见解析
解析：（1）令，得，所以开始振动的位置为.
（2）由题意知，当时，，即最高点为，当时，，即最低点为.
（3），即每经过约3.148小球住返振动一次.
（4），即每秒内小球能往返振动约0.318次.
9.
答案：见解析
解析：（1）当时，，
当白昼时间最长时，取得最大值，
即，
此时，
即6月20日（闰年除外）白昼时间最长；
当，即时，取得最小值，也就是12月20日白昼最短.
（2）令，
即，
此时，由于，所以估计在波士顿一年中有243天的白昼时间超过10.5小时.
10.
答案：见解析
解析：设出厂价格波动函数为，易知，所以.
设销售价格波动函数为，易知，所以.
每件盈利，
当时，，则，此时y取最大值.
当时，即时，y最大，所以估计6月份盈利最大.
11.
答案：见解析
解析：（1）设该函数为，由①可知，这个函数的周期是12；由②可知，）最小，最大，且，故该函数的振幅为200；由③可知，在上单调递增，且，所以.
根据上述分析可得，故，且解得
根据分析可知，当时，最小，当时，最大，故，且.
又因为，故.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为.
（2）由条件可知，，化简得，即，解得.
又因为，且，故.
故只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.
1 / 8《三角函数应用》同步练习
一、选择题
1.交流电的电动势E与时间t的关系为，则下列判断正确的是（ ）
A.电动势的最大值为
B.电动势的最小正周期为
C.电动势的初相位为
D.电动势等于0时，时间t的值为0.0175
2.商场人流量被定义为每分钟通过人口的人数，若某商场的人流量满足函数，则在下列哪个时间段内人流量是增加的（ ）
A.
B.
C.
D.
3.稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足：，已知第一、二季度的平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A.10000元
B.9500元
C.9000元
D.8500元
二、填空题
4.某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是________.
5.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温为________℃.
6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针匀速绕O点旋转.当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点间的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则________，其中.
三、解答题
7.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系是.
（1）求函数解析式；
（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）单摆来回摆动一次需要多长时间？
8.已知电流I与时间t的关系式为.
（1）如图是在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？
9.如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）.
（1）求函数的关系式；
（2）画出函数的大致图象.
参考答案
1.
答案：B
解析：因为电动势的最大值为220，所以A错误因为电动势的最小正周期为，所以B正确.因为电动势的初相位为，所以C错误.因为当时，，所以D错误.
2.
答案：C
解析：由，得函数的增区间为，当时，，而，故选C.
3.
答案：C
解析：因为，所以当时，；当时，，所以可取可取，即.当时，.
4.
答案：80
解析：因为，所以此人每分钟心跳的次数为.
5.
答案：20.5
解析：因为当时，；当时，，所以，所以，所以当时，.
6.
答案：
解析：由题意可设，其中.
7.
答案：见解析
解析：（1）由题意知，.
时，最大，时，.
（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6cm.
（3）单摆来回摆动一次需要1s.
8.
答案：见解析
解析：（1）由题图可知，设，则周期，所以.又当时，，即，所以，而，所以.故所求的解析式为.
（2）依题意知，周期，即，所以，故的最小正整数值为943.
9.
答案：见解析
解析：（1）如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立平面直角坐标系.
设点A的坐标为，则.
设，则，所以.
又，即，所以，
所以.
（2）函数的大致图象如图所示.
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