苏教版（2019）高中数学必修第一册《第七章__三角函数》章末复习教案

《第七章 三角函数》章末复习
知识网络建构
答案
①正角、负角零角 ②象限角轴线角 ③ ④弧长与半径相等的弧所对的角 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 奇变偶不变，符号看象限

A 横坐标向左（）或向右（）平移个单位（纵坐标不变） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） 横坐标向左（）或向右（）平移个单位（纵坐标不变），再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的横坐标向左（）或向右（）平移个单位（纵坐标不变），最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）
知识要点整合
一、任意角和弧度制
1.任意角.
初中定义的角是由一个顶点和两条射线所形成的静态图形，这种形式的定义方法只能表示0°到180°的角，但是实际生活中，角的范围是可以无限大的，所以本章通过旋转从动态角度重新定义了角.因为是动态定义，所以由方向，因而根据旋转的方向，将角进行了分类：正角、负角和零角对角的理解关键是抓住旋转二字：（1）要明确旋转的方向；（2）要明确旋转量的大小；（3）要明确旋转的开始位置.
数学中在解决平面图形问题时，常常与平面直角坐标系建立关系，因此，当将角与坐标建立对应—顶点与坐标原点重合，始边与x轴重合时，终边会落在坐标轴上或者象限内，且因为旋转过程中，终边会重复出现在相同的位置，这样形成了两个知识：终边相同的角，象限角和轴线角.这里要注意：（1）终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍；（2）对于象限角和轴线角，角的顶点要与坐标原点重合，角的始边要与x轴的正半轴重合.
2.弧度制.
角的单位是度，是六十进制的单位制度，而我们平时使用的数字，是十进制的，在实际运算和处理三角函数问题中，因为计量单位的不一致，会造成不便与不通，所以本章引入了弧度制.现在计量角的制度有两种：角度和弧度，既然这两种都是刻画角的大小的量，那么彼此之间是可以转化的根据一周是360°，一周的弧度数是2，建立角度与弧度的关系，由此引出求扇形弧长与面积的公式.这里需要注意的是：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，但不能忽略角的正、负；（2）由扇形的弧长及面积公式可知，对于可以“知二求二”.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式有很多优越性，但要注意角度数必须化为弧度数后再计算.
一些特殊角的度数与弧度的换算：
例1、（1）下列与一的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）角________弧度，这个角的终边落在第________象限.
解析 （1）根据终边相同角的定义与的终边相同的角为，注意单位的一致.
（2）根据角度与弧度的转换公式进行转换，根据各个象限角的范围判断角的终边所在的象限.
答案 （1）C （2） 二
点拨 （1）与终边相同.又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.
（2）它的终边落在第二象限.
例2、已知一扇形的圆心角为，半径为r.
（1）若，求扇形的弧长；
（2）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（3）若扇形周长为20，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析 （1）由孤长公式求孤长，注意角是弧度制：（2）结合，利用周长和面积列方程组，求出；（3）建立关于半径的二次函数，利用二次函数求最值.
答案 （1）因为rad，
所以.
（2）由题意得
解得（舍去）或
故扇形的圆心角为rad.
（3）由已知得，所以，
所以当时，S取得最大值25，此时，所以rad.
二、任意角的三角函数
任意角的三角函数是借助圆和角终边上点的坐标定义的，三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定根据定义，我们可以清晰看出，正弦函数值的正负与角终边上点的纵坐标有关，余弦函数值的正负与角终边上点的横坐标有关，正切函数值的正负与角终边上点的横、纵坐标皆有关，因而得到三角函数值在各个象限的符号，可简记为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
在单位圆中（），根据三角函数的定义，可以得到，即角终边与单位圆交点的纵、横坐标可以表示此角的正弦值和余弦值，为了体现交点的横、纵坐标引入了有向线段，由交点P向x轴作垂线，垂足为M，有向线段MP、OM与交点P的纵横坐标一一对应，可以对应角的正弦值余弦值.在以单位圆与x正半轴的交点A为垂足向角终边所在的直线作垂线，得到的有向线段AT与角的正切值对应，因此得到三角函数线.注意：（1）三角函数线都是有向线段；（2）在用字母表示三角函数线时，要注意它们的方向，分清起点和终点，不能颠倒顺序.
例3、（1）已知角的终边过点，则的值是________.
（2）函数的定义域是________.
解析 （1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.（2）利用三角函数线求解.
（1）.
当时，；
当时，.
故的值是或.
（2）由得如图，结合三角得函数线知：
解得，
函数的定义域为.
答案 （1）或 （2）
例4、若是第四象限角，试判断的符号.
解析 根据三角函数值在各个象限的符号，先判断的符号，再由的符号和的范围，判断和的符号，从而判断的符号.
答案 为第四象限角，
.
.
.
三、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.根据三角函数的定义，有，即得同角三角函数关系：平方关系和商数关系.注意：（1）同角三角函数关系中要求“角相同”；（2）同角三角函数关系对使等式有意义的“任意”角都成立.同角三角函数关系式的常用变形：.
2.根据角关于x轴、y轴、原点对称，得到角与对称角之间的关系，根据点的对称和三角函数的定义，可推导出诱导公式.的三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.的正弦（余弦）函数值等于的余弦（正弦）函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限”.
3.诱导公式的应用步骤：
例5、若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 .
答案 B
例6、（1）已知，则__________.
（2）已知.
①化简；
②若，且，求的值；
③若，求的值.
解析 （1）根据诱导公式将化简为，从而得到的值，而的分子、分母同时除以，将弦转化为切，代入求值.
（2）①利用诱导公式化简；②利用完全平方式和同角三角函数关系，得到的值；③代入求值.
答案 （1）由已知得，故，则.
（2）①.
②由，
得.
又，即，
.
③，
.
四、三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现，主要体现在三角函数的图象变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论三角函数的性质.高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的单调性问题，应引起重视.
例7、（1）函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
（3）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线对称
D.关于直线对称
解析 （1）由正切函数的定义域，得，即.
（2）对于选项A，作出的部分图象，如图（1）所示，则在上单调递增，且最小正周期，故A正确.对于选项B，作出的部分图象，如图（2）所示，则在上单调递减，且最小正周期，故B不正确，对于选项C，最小正周期，故C不正确.对于选项D，作出的部分图象，如图（3）所示.显然不是周期函数，故D不正确.
（3）因为函数的最小正周期是4，而，所以，即.令，解得，故的图象的对称轴为；令，解得.故的图象对称中心为，对比选项可知B正确.
答案 （1）D （2）A （3）B
例8、已知函数（a为常数）
（1）的单调增区间是_________，单调减区间是_________；
（2）若时，的最大值为4，则a的值为_________.
解析 （1）由，解得函数的单调增区间为；由，解得函数的单调减区间为；
（2）的最大值为.
答案 （1）
五、三角函数的图象变换
由函数的图象通过变换得到的图象有两种方法，两种变换的区别：①先相位变换，再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位长度；②先周期变换（伸缩变换），再相位变换，平移的量是个单位长度.变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“”的变化.
例9、（1）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
（2）将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A.
B.
C.0
D.
解析 （1）因为，所以曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.
（2）的图象沿x轴向左平移个单位后，得的图象.若该函数为偶函数，则，故.当时，.
答案 （1）D （2）B
例10、已知函数.
（1）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.
解析 （1）按照“五点法”作图的步骤作图；（2）遵循变换的规律进行变换.
答案 （1）描点画出图象，如图所示：
（2）方法一：把的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象；
再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象；
最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.
方法二：将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象；
再将的图象向左平移个单位长度，得到的图象；
再将的图象上所有点的纵坐标钟长为原来的2倍（横坐标不变），即得到的图象.
六、三角函数的应用
三角函数的应用主要是利用这一三角函数来解决相关的实际问题，包括物理中的简谐运动、交流电的电压和时间的关系、大海的潮汐现象、游乐场中摩天轮的运动等等.首先需要熟知这个三角函数中各个字母的意义，其次要能够结合对应的三角函数图象进行相关的计算，最后，还要具备一定的数学建模思想，把我们不熟悉、不了解的现实情境通过建模进行数学化、数量化，以此进行问题的解决.
例11、一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为（rad），作为时间t（s）的函数，满足关系.
（1）最初时的值是多少？
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
解析 （1）将代入函数关系式求出的值；（2）周期，频率为周期的倒数；（3）由（2）中的周期可求完成5次完整摆动需要的时间.
答案 （1）当时，.
（2）由题意查知，单摆摆动的周期，故单摆摆动的频率为；
（3）因为完成一次完整摆动所用时间为一个周期，故完成5次完整摆动所用时间为5.
核心素养梳理
一、数学抽象
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.
本章形成概念过程中，例如弧度的概念、弧度与角度的转化探究过程，三角函数的定义、由三角函数的图象抽象出函数的性质等，都体现了数学抽象的思维过程，循序渐进、潜移默化地培养了学生的数学抽象核心素养.
例1、终边经过点的角的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 因为角的终边经过点，所以角的终边落在直线上，所以角的集合是.
答案 D
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推理.命题是数学结论的主要形式，也是数学交流的主要内容，因此，逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性.
逻辑推理在公式的推导、三角函数性质的归纳总结三角恒等式的证明等知识和题型中都有很全面的体现.
例2、求证：.
解析 方法一：将等式左右两边的切转化为弦，使左右向边的表达式相等即可.
方法二：将等式右边的表达式化成等式左边的表达式.
答案 方法一：（切化弦）
左边，
右边.
因为，
所以，
所以左边=右边，
所以原等式成立.
方法二：（由右至左）
因为右边
左边，
所以原等式成立.
例3、已知函数，求不等式的解集.
解析 由，可以得到，得到.将看作一个整体角，根据正弦函数图象，得出的解为，即，解出x的范围即可.
答案 由，得，
所以，
所以，解得，所以不等式的解集.
三、数学建模
数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程.数学建模能力指能够在实际情境中，从数学的视角提出问题，用数学的思想分析问题，用数学的语言表达问题，用数学的知识得到模型，用数学的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，不断反思和改进模型，最终得到符合实际规律的结果.反思贯穿于数学建模的全过程.数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，帮助学生逐步积累数学活动经验，培养学生应用能力和创新意识.
三角函数在物理和生活中都有广泛的应用，与三角函数有关的应用题也是高考考查的重点知识.本章每一节的情境引入基本都采用了生活中和物理中的实际问题，将实际问题转化为数学问题，用数学的语言表述实际问题，是数学学习的重要目的.
例4、如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为__________.
解析 从图中可以看出，最高温度是30℃，最低温度是10℃，6~14时是函数的半个周期，所以，所以.
又，取，
所以.
答案
四、直观想象
直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题，主要包括利用图形描述数学问题，启迪解决问题的思路，建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知.
本章中三角函数线的应用、三角函数图象的应用都体现了直观形象核心素养的养成.数形结合思想也是高中数学的重要思想.
例5、函数的定义域为_________.
解析 由，得.画出的大致图象和直线如图所示.
由图可知，的解集为.
答案
例6、函数中，且其图象如图所示，求其解析式.
解析 先根据函数的最大值和最小值，求出A，再根据函数的周期T求出，再用代入法—把图象上的一个已知点的坐标代入求出；也可用五点法确定的值.
答案 方法一：（五点作图原理法）由图象知，振幅，所以.又由点，根据五点作图原理（可判为“五点法”中的第一个点）得，解得，所以.
方法二：（方程法）由图象知，振幅，所以.
又图象过点，
所以，
所以，所以.
又，所以，
所以.
方法三：（变换法）由图象知，振幅，所以，且的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，故其解析式为.
五、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等数学运算是学生学会数学的基础.
本章中角度数与弧度数的相互转化、三角函数的化简求值等都体现了数学运算核心素养.
例7、已知，求的值.
解析 由，可以得到，代入，求出的值，从而得到的值.
答案 .
又，
即.
又由可知，与异号，
角的终边在第二或第四象限.
当角的终边在第二象限时，；
当角的终边在第四象限时，.
例8、求函数的值域.
解析 要求函数的值域，注意函数中角一致，所以将函数化成一致即可，所以将转化为，得到，再将看作一个整体，配方即可.
答案 .
因为，所以，所以函数的值域为.
高考真题再现
考点1 任意角的三角函数定义和三角函数线
任意角的三角函数在高考中常以选择题、填空题的形式出现，偶尔也会在解答题中与诱导公式、三角恒等变换结合一起考查，分值一般是5分.
例1、（2018·北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若，则P所在的圆弧是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 当点P在或上时，由三角函数线易知，，不符合题意；当点P在上时，不符合题意；进一步可验证，只有点P在上时才满足条件.
答案 C
例2、（2018·浙江节选）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点.求的值.
解析 先求出圆点为O，过点P的圆的半径，再根据三角函数的定义得出的值，最后利用诱导公式求解.
答案 因为角的终边过点，所以.由三角函数的定义得，所以.
考点2 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系在高考中常以选择题、填空题和解答题的形式出现，常与三角恒等变换、正弦定理、余弦定理结合一起考查，分值一般是5分.
例3、（2018·全国Ⅱ改编）已知，则_________.
解析 因为，所以.又，所以，所以.因此.
答案
考点3 三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质在高考中常以选择题、填空题的形式出现，通常会与三角恒等变换结合一起考查，分值一般是5分.
例4、（2016·江苏）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是_________.
解析 在同一平面直角坐标系中作出与在区间上的图象（如图）.由图象可知，共有7个交点.
答案 7
例5、（2017·全国Ⅱ）函数的最大值是________.
解析 ,由可得，当时，函数取得最大值1.
答案 1
例6、（2019·全国1）函数在的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 由，得是奇函数，其图象关于原点对称，可以排除A.又，可以排除B，C.
答案 D
例7.（2018·江苏）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________.
解析 由题意可得，所以，即.又，所以.
答案
例8、（2018·天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析 由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度后所得图象对点的函数解析式为，则函数的单调递增区间满足，即，令，可得一个单调递增区间为；函数的单调递减区间满足：，即，令，可得一个单调递减区间为.
答案 A
例9、（2018·北京）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_________.
解析 因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，所以.又，所以当时，的最小值为.
答案
考点4 三角函数的应用
三角函数的应用在高考中通常和三角函数的性质结合一起考查，分值一般是5~12分.
例10、（2015·陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A.5
B.6
C.8
D.10
解析 由图可知.
答案 C
例11、（2014·湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解析 （1）将化为单一三角函数的形式，可求得这一天温度的最大值和最小值，进而求得最大温差.（2）由题意可知，当时，需要降温.由，可得，即，解得t的范围，可得结论.
答案 （1）因为，又，所以，所以.
当时，；
当时，.
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
（2）依题意，当时实验室需要降温.由（1）得，故有，即.又，因此，即.在10时至18时实验室需要降温.
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