苏教版（2019）高中数学必修第一册《三角函数》单元综合测试A（含答案）

《三角函数》单元综合测试A
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知，则在弧度制下为（ ）
A.10
B.
C.
D.
2.若点是角终边上一点，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如果点位于第三象限，那么是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
4.下列函数中最小正周期为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若是三角形的一个内角，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若函数对任意实数x都有，那么的值为（ ）
A.
B.2
C.
D.不能确定
8.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到关于y轴对称的图象，则（
A.图象关于点对称
B.图象关于点对称
C.在上单调递增
D.在上单调递增
11.设函数，其中均为非零的常数，若，则的值是（ ）
A.5
B.3
C.1
D.不确定
12.已知，对于值域内的所有实数m，不等式恒成立，则x的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知，则__________.
14.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，则这段时间水深（单位m）的最大值是__________.
15.函数的定义域为__________.
16.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则__________.
三、解答题（共70分）
17.（10分）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
（1）若点B的横坐标为，求的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
（3）若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式.
18.（12分）如图，一个大风车的半径为8m，它的最低点离地面2m，风车翼片静止时处于水平位置风车启动后，风车翼片按逆时针方向每12min旋转一周，求风车翼片的端点离地面距离h（m）与启动时间t（s）之间的函数关系，并求当风车启动17min时，风车翼片的端点P离地面的距离.
19.（12分）
（1）已知是方程的根，求的值；
（2）若，求的值.
20.（12分）已知曲线上的一个最高点的坐标为，此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点且.
（1）求曲线对应的函数解析式；
（2）用“五点法”画出该函数在上的图象.
21.（12分）已知函数.
（1）求的定义域与单调区间；
（2）比较与的大小.
22.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）对于为任意实数，关于x的方程恰好有两个不等实根，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式在内恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案
1.
答案：D
解析：，，则.
2.
答案：A
解析：由三角函数的定义可得.由诱导公式可得.
3.
答案：B
解析：点位于第三象限，
是第二象限角.
4.
答案：C
解析：对于A，令，则，不满足不是以为周期的函数，其最小正周期不为；
对于B，的最小正周期为；
对于D，的最小正周期为.
5.
答案：C
解析：.又，.
6.
答案：D
解析：由题意得，故函数的定义域为.
7.
答案：C
解析：由得函数图象的对称轴为直线余弦函数在对称轴处取到函数的最值，.
8.
答案：C
解析：由函数图象可知，根据周期公式，.由图象的最小值可知.最低点坐标为，代入解析式得，解得.
9.
答案：A
解析：与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则.又，解得.
10.
答案：C
解析：函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象，根据得到的图象关于y轴对称，可得.
当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；
当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；
在上，单调递增，故C正确；
在上，单调递减，故D错误.
11.
答案：A
解析：
.
12.
答案：A
解析：的值域为.又对所有实数，不等式恒成立等价于在上恒成立，
当时，不等式为恒成立；
当时，令，其中，问题转化为在上恒小于0，则即
解得，所以x的取值范围是.
13.
答案：
解析：.
14.
答案：10
解析：据此图象可知，这段时间水深的最小值为，所以.故这段时间水深（单位：m）的最大值为.
15.
答案：
解析：.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴那分所示），.
16.
答案：
解析：的图象过原点，当，即时，是增函数；当，即时，是减函数.由在上单调递增，在上单调递减知，.
17.
答案：见解析
解析：（1）由题意可得，根据三角函数的定义得.
（2）若△AOB为等边三角形，则，故与角终边相同的角的集合为.
（3）若，则，
而，
故弓形AB的面积.
18.
答案：见解析
解析：由题意得.设，则解得当时，.
故当风车启动17min时，风车翼片的端点P离地面的距离为14m.
19.
答案：见解析
解析：（1）由题意得.
，
当为第二象限角时，；
当为第三象限角时，.
.
（2）
，
把代入得.
20.
答案：见解析
解析：（1）由题意得，
，又.
（2）略.
21.
答案：见解析
解析：（1）由，得，
故的定义域为，
单调递增区间为.
（2），
，
.
22.
答案：见解析
解析：（1）当时，，令，解得函数的单调递减区间为.
（2）对于为任意实数，关于x的方程恰好有两个不等实根，在为任意实数，有两个不等实根，，即.
（3），故.又恒成立，恒成立，解得.
1 / 14