4.解不等式及恒成立问题
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必会题型一：二次函数的值域或最值
必会题型二：解不含参数二次、分式及高次不等式
必会题型三：解含参数二次、分式及高次不等式
必会题型四：由一元二次不等式的解确定参数
必会题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．二次函数的解析式常见的三种设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，已知二次函数图像经过三个点时经常采用这种设法．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，已知二次函数的顶点坐标或对称轴时经常采用该种设法．
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，已知二次函数的图像与x轴的两个交点或已知二次函数对应的一元二次方程的两个实根时经常采用该种设法．
2．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式．由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左右、上下平移得到．具体平移过程由下列两种模式：
①y＝ax2(a≠0)y＝a(x＋h)2(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
②y＝ax2(a≠0)y＝ax2＋k(a≠0)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)
3．二次函数[y＝ax2＋bx＋c＝a2＋]的性质(如图) (1)a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增，当x＝－时，f(x)min＝； (2)a＜0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减，当x＝－时，f(x)max＝； 对称轴x＝－，顶点(－，)
4．三个“二次”的关系(a＞0)[口诀：大于取两根之外，小于取两根之内]
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c的图像
ax2＋bx＋c＝0的根 两异实根x1，x2(x1＜x2) 两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＞x1或x＜x2} {x|x≠－} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c＜0的解集 {x|x1＜x＜x2}
5．一元高次不等式的解法如图(数轴标根法，穿针引线法)[注意：a＞0]．
(1)正化求根：将不等式移项分解因式，把每个因式最高项系数化为正，并求出每个因式对应的根． (2)标根穿线：将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由右上方连续穿过n个根． (3)数轴上方的曲线对应区间就是y＞0的解集；下方对应区间就是y＜0的解集． (x－1)2(x－2)(x－3)＞0
(x－1)3(x－2)(x－3)＞0
(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．
6．分式不等式的解法
(1)＞0(或＜0) y1·y2＞0(或＜0)再求解．
(2)≥0(或≤0) y1·y2≥0(或≤0)且y2≠0再求解．
(3) 形如 的分式不等式可同解变形为
故可转 化为 ．
7．恒成立问题
(1)在实数集上恒成立问题
①一元二次不等式 对任意 恒成立的条件是
②一元二次不等式 对任意 恒成立的条件是
③一元二次不等式 对任意 恒成立的条件是
④一元二次不等式 对任意 恒成立的条件是
(2)在特定区间D上恒成立，
方法一：先分离参数
①m＞y恒成立 m＞y max；
②m＜y恒成立 m＜y min
方法二：转化为含参二次函数在区间D上的最值，需讨论二次函数的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、中间、右侧进行讨论．
8．含参数的一元二次不等式的解法(步骤)
(1)将二次项系数转化为正数：二次项系数若含有参数， 应讨论二次项系数是等于 0 、小于 0 还是大于 0， 然后将不等式转化 为二次项系数为正的不等式；
(2)判断相应方程是否有根( 如果可以直接分解因式，那么可省去此步)， 确定无根时， 可直接写出解集；
(3)根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异实根，为了写出解 集还要分析两根的大小．
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：二次函数的值域或最值
1．(2022·全国·高一单元测试)已知二次函数，那么y的最大值是( )
A． B． C．16 D．0
2．[多选](2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中)已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为( )
A．2 B．1 C． D．
3．[多选](2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习)已知函数，关于的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上有最小值2，最大值5
D．当时在区间上的最小值为；当时在区间上的最小值为1
4．(2021·广东·佛山市顺德区文德学校高一阶段练习)函数在上的最大值是______________．
5．(2021·全国·高一课前预习)(1)已知函数在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
(2)已知函数，x∈[－1，1]，求函数的最小值．
6．(2022·北京市第一五六中学高一期中)在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．
已知函数
(1)若，求函数在上的值域；
(2)当___________时，求函数的最小值以及相应的的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
必会题型二：解不含参数二次、分式及高次不等式
1．(2022·山西·太原市小店区第一中学校高一阶段练习)不等式的解集是( )
A． B．
C．或 D．
2．(2022·陕西·无高一期中)不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
3．(2021·吉林·东北师大附中高一阶段练习)不等式的解集为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
4．(2022·上海奉贤区致远高级中学高一阶段练习)下列不等式中，与同解的不等式是( )
A． B．
C． D．
5．(2022·上海市延安中学高一期中)不等式的解集是_________．
6．(2022·北京·北师大二附中高一阶段练习)的解集为___________．
7．(2022·江苏·高一专题练习)解下列不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
必会题型三：解含参数二次、分式及高次不等式
1．(2022·湖南·宁乡一中高一阶段练习)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．(2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习)已知集合中恰有2个整数解，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一阶段练习)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为( )
A． B．
C． D．或
4．[多选](2022·江苏徐州·高一期中)若关于x的不等式解集为(－1，3)，则正实数a的可能取值是( )
A． B． C．1 D．2
5．(2022·江苏苏州·高一期中)若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
6．(2022·海南华侨中学高一期中)已知关于x的不等式．
(1)当，求不等式的解集．
(2)若，试讨论不等式的解集．
必会题型四：由一元二次不等式的解确定参数
1．(2022·江苏常州·高一期中)者关于x的不等式的解集为，则实数m的值是( )
A． B． C． D．
2．(2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习)若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
3．(2022·河北·石家庄二中实验学校高一阶段练习)设，若不等式的解集是，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
4．(2022·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习)若不等式的解集为，那么不等式的解集为( )
A． B．或
C． D．
5．[多选](2021·江苏省南通中学高一阶段练习)已知关于的不等式解集为，则( )
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
必会题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题
1．(2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高一期中)不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
2．(2022·安徽·滁州碧桂园学校高一期中)已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．[多选](2022·吉林·东北师大附中高一期中)已知定义在区间[0，3]上的增函数，且对所有x∈[0，3]，a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值可以是( )
A．-3 B．-1 C．0 D．1
4．(2022·上海市风华中学高一期中)若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________．
5．(2022·重庆·万州纯阳中学校高一阶段练习)已知函数
(1)若方程有且仅有一个根，求的值．
(2)若关于的不等式在R上恒成立，求的取值范围．
6．(2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习)已知不等式的解集为，其中
(1)求不等式) >0的解集；
(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数k的取值范围．(共39张PPT)
4.解不等式及恒成立问题
章末复习
目录/contents
题型一：二次函数的值域或最值
题型二：解不含参数二次、分式及高次不等式
题型三：解含参数二次、分式及高次不等式
题型四：由一元二次不等式的解确定参数
题型五：一元二次不等式恒成立与有解问题
思维导图
本章知识
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题型1
二次函数的值域或最值
知识点分析
轴动区间定
轴定区间动
一看对称轴
二看所给区间
三看单调性
知识点分析
2．三个“二次”的关系(a＞0)
[口诀：大于取两根之外，小于取两根之内]
求根
图像
下结论
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
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题型2
解不含参数二次、分式及高次不等式
知识点分析
1．一元高次不等式的解法如图(数轴标根法，穿针引线法)[注意：a＞0]．
奇穿偶反
即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x轴上点后返回，不穿过去．
知识点分析
2．分式不等式的解法
必会例题
必会例题
必会例题
绝对值不等式
必会例题
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题型3
解含参数二次、分式及高次不等式
知识点分析
1．含参数的一元二次不等式的解法(步骤)
(1)将二次项系数转化为正数：二次项系数若含有参数， 应讨论二次项系数是等于 0 、小于 0 还是大于 0， 然后将不等式转化 为二次项系数为正的不等式；
(2)判断相应方程是否有根( 如果可以直接分解因式，那么可省去此步)， 确定无根时， 可直接写出解集；
(3)根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异实根，为了写出解 集还要分析两根的大小．
求根
判根
图像
下结论
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
求根
判根
图像
下结论
必会例题
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题型4
由一元二次不等式的解确定参数
必会例题
必会例题
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题型5
一元二次不等式恒成立与有解问题
知识点分析
1．恒成立问题
知识点分析
(2)在特定区间D上恒成立，
方法一：先分离参数
①m＞y恒成立 m＞y max；
②m＜y恒成立 m＜y min
方法二：转化为含参二次函数在区间D上的最值，需讨论二次函数的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、中间、右侧进行讨论．
必会例题
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