【精选备课】2022-2023学年数学湘教版（2012）九年级上册 第四单元测试（含解析 ）

第四单元测试
一、单选题
1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（　 　）
A．DE=1 B．tan∠AFO= C．AF= D．四边形AFCE的面积为
5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为( )
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )
A．3 B．300 C． D．150
9．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
10．△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______．
12．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=_____.
14．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
15．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.
（1）求证：△AEG∽△CHG；
（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；
（3）若BC=1，求cos∠CHG的值.
17．热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：）
18．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
19．如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
20．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
参考答案：
1．D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．
【详解】结合题意，得：
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．
3．D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
4．C
【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝1，AC⊥BD，∠ADO＝∠ABO＝45°，
∴OD＝OB＝OA＝，∠ABF＝∠ADE＝135°，
在Rt△AEO中，EO＝，
∴DE＝，故A错误．
∵∠EAF＝135°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝45°，
∵∠ADO＝∠DAE＋∠AED＝45°，
∴∠BAF＝∠AED，
∴△ABF∽△EDA，
∴，
∴，
AF＝，故C正确，
OF=
tan∠AFO＝，故B错误，
∴S四边形AECF＝ AC EF＝××＝，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出AF的长，然后根据对称性求出四边形的面积．
5．B
【分析】先利用勾股定理得出DC，AC、AD的长，根据勾股定理的逆定理可得∠CDA=90°，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接DC，
由网格可得出DC＝，AC＝，AD=，
∵，
∴，
则：∠CDA＝90°，
故sinA＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
6．C
【详解】试题解析：
故选C.
7．A
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．D
【分析】根据tanA==3即可求得BC的长，进而求出面积．
【详解】∵tanA= =3，
∴BC=AC tanA=10×3=30，
∴S△ABC=AC BC=×10×30=150.
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形.掌握正切的概念是解题的关键.
9．C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
10．B
【分析】根据正弦的定义：正弦=对边/斜边即可解答.
【详解】由题意得sinA==，故选B.
【点睛】掌握正弦公式是解答本题的关键.
11．
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，
∴GE=，
根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，
∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
12．3
【详解】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E=，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3.
考点：解直角三角形．
13．
【分析】设AD=BC=x，可证△ABC∽△CBD，根据相似三角形的性质表示出BD的长，然后在△Rt△BCD中，利用余弦的定义求解即可.
【详解】设AD=BC=x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴BD=x，
∴cos∠B==，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，由△ABC∽△CBD表示出BD的长是解答本题的关键.
14．233m
【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
，
，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米．
故答案为：233．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
15．6
【分析】取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】解：如图，
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，
过A作于H，则由
为BC的中点，
即的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
16．（1）证明见解析（2）△AEG与△BHF相似 （3）
【详解】试题分析：（1）由于△ABD是等边三角形，那么∠D=∠EAG=60°，根据折叠的性质知：∠D=∠GCH=∠AEG=60°，再加上对顶角∠EGA=∠HGC，即可证得所求的三角形相似；
（2）由△ABD是等边三角形和的性质知：∠BAD=∠GCH=∠ABD，再由三角形内角和定理可证明∠1=∠5，即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，已知了BC的长和∠BAC的度数，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可得到∠AEG的余弦值，而根据（1）的相似三角形知∠AEG=∠CHG，由此得解．
试题解析：解：（1）∵△ABD是等边三角形，∴∠EAG=∠D=60°；
根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG．
（2）△AEG与△BHF相似．理由如下：
∵∠BAD=∠ABD=∠D，∠GCH=∠D，∴∠BAD=∠GCH=∠ABD，∴∠1+∠2=∠3+∠4．∵∠2=∠3，∠4=∠5，∴∠1=∠5， ∴△AEG∽△BHF；
（3）△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=，AB=2，故AD=AB=2．
设DE=EC=x，则AE=2﹣x．
在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2﹣x）2+3=x2，解得x=，∴AE=，EC=，∴cos∠AEC==．由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，故cos∠CHG=cos∠AEC=．
点睛：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换以及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．
17．这栋楼的高度约为95米．
【分析】利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
【详解】由题意可知，，米，
在中，(米)，
在中，(米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确确定直角三角形，灵活运用相关知识是解此题的关键．
18．（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
19．（1）75°；（2）
【分析】（1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答；
（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
【详解】（1）如图：过点A作于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
(2)∵在RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．
20．沿海城市B会受到这次风暴的影响,受影响的时间为4小时
【分析】作出图像,求出风暴离B城市的最近距离BD= 30千米，判断出沿海城市B会受到这次风暴的影响,接下来计算受影响的时长,得沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF,求出EF的长,除以速度即可解题.
【详解】根据题意画出图形,
根据题意可知AB=60千米，∠BAF=30°
过B作BD⊥AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F
∵ BD⊥AF,AB=60千米,∠BAF=30°
∴ 风暴离B城市的最近距离为BD=AB×sin30°=30千米，
∵ BD＜50千米
∴ 沿海城市B会受到这次风暴的影响
∵ BE=BF=50千米
∴ 沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF
∵ BE=BF=50千米，BD=30千米，BD⊥AF
∴ DF=DE=
∴ EF=2DF=80千米
∵ 风暴速度为每小时20千米
∴ 受影响时间==4小时
∴沿海城市B会受到这次风暴的影响,受影响的时间为4小时．
【点睛】本题主要考查了,含30°的特殊直角三角形的实际应用,中等难度,在理解题意的基础上求出BD与EF的长是解题关键.