【精选备课】2022-2023学年数学湘教版（2012）九年级上册 期末测试（含解析）

期末测试
一、单选题
1．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
2．如图，在矩形中，于，设，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：
①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；
②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；
③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；
④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
4．某盒饭公司2015年5月第一周销售盒饭的情况如下表所示，为了更清楚地看出盒饭销售数量的总趋势是上升还是下降，应采用( )
星期 一 二 三 四 五 六 七
销售量/盒 1250 1220 1221 1150 1100 980 950
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上三种均可
5．去年某校有1 500人参加中考，为了了解他们的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有(　 　)
A．400名 B．450名 C．475名 D．500名
6．在中，、都小于，且 ，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．直角坐标平面上将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则其顶点为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是( )
A．调查方式是普查 B．该校只是个家长持反对态度
C．样本是个家长 D．该校约有的家长持反对态度
10．如图，已知D．E分别在△ABC的AB．AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（ 　）
A．； B．；
C．； D．．
二、填空题
11．已知，则______.
12．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .
13．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围________
14．已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是______.
15．某校即将举行30周年校庆，拟定了四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为______．
16．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有_______人.
17．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=_____．
18．已知、是锐角，若，那么、的关系是______.
19．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
20．在中，，，点在边上，且，点在边上，当______时，以、、为顶点的三角形与相似．
三、解答题
21．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：
平均每天的睡眠时间分组 5≤t＜6 6≤t＜7 7≤t＜8 8≤t＜9 9小时及以上
频数 1 5 m 24 n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了22%．
（1）求表格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是多少．
22．在中，、、的对边分别为、、，且满足等式和，求的值.
23．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．，B．，C．，D．，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．
请回答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于7时．
24．新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长(单位：小时)的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_ (填写“全面调查”或“抽样调查”)，_ ．
（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是 ；
（3）若该市有名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有_ 名．
25．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝　　　　，n＝　　　　；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
参考答案：
1．A
【详解】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4）．
故选：A．
2．C
【分析】根据矩形的性质可知：求AD的长就是求BC的长，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角函数的知识先求出AC，然后在直角△ABC中根据勾股定理即可求出BC，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAC=90°，BC=AD，∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAC=，
在直角△ABC中，∵，，∴，
∴AD=BC=.
故选：C.
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
3．B
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是，错误；
②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，正确；
③这7名同学所捐的零花钱的众数是100，正确；
④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是100，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．
4．B
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【详解】根据题意，得
要求直观盒饭数量销售的总趋势是上升还是下降，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选B．
【点睛】此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断．
5．B
【分析】根据已知求出该校考生的优秀率，再根据该校的总人数，即可求出答案．
【详解】∵抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，
∴该校考生的优秀率是：×100%=30%，
∴该校达到优秀的考生约有：1500×30%=450（名）；
故选B．
【点睛】此题考查了用样本估计总体，关键是根据样本求出优秀率，运用了样本估计总体的思想．
6．A
【分析】先根据特殊角度三角函数值得出+的度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
【详解】∵且、都小于
∴
∴
故选：A.
【点睛】本题主要考查特殊角度三角函数值、三角形内角和定理，熟记特殊角度三角函数值是关键.
7．A
【分析】根据可得其顶点坐标为（1，-2），然后根据点的坐标平移规律，上加下减，左减右加，求出平移后的顶点坐标.
【详解】解：由可得其顶点坐标为（1，-2）
∵图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位
∴平移后的顶点坐标为（1-1，-2+2）,即（0,0）
故选：A
【点睛】本题考查二次函数顶点式，点的坐标平移规律，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
8．C
【分析】把点代入，求解即可.
【详解】解：把点代入，得：
解得：a=2
故选：C
【点睛】本题考查待定系数法，正确代入求值是本题的解题关键.
9．D
【分析】根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．
【详解】解：．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误，不符合题意；
．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有个家长持反对态度，故本项错误，不符合题意；
．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误，不符合题意；
．该校约有的家长持反对态度，本项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，解题的关键是掌握这些是基础知识．
10．D
【分析】根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可.
【详解】∵△ABC与△AED相似，
∴,
∴.
故选D.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
11．
【分析】根据比例的基本性质可得关于a、b的关系式，进而可得答案.
【详解】解：∵，∴，整理得：，∴.
故答案为：
【点睛】本题考查了比例的基本性质，属于基本题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.
12．2
【详解】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在双曲线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
13．0＜m＜4
【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【详解】解：分段函数y=的图象如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜4．
故答案为0＜m＜4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
14．，且x≠0
【分析】由题意得有两个极值点，过点P与⊙O相切时，取得极值，作出切线求解即可.
【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示：
由题意得，
故可得，即的极大值为，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时取得极小值
综上可得的范围为：，且x≠0
故填：，且x≠0
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键.
15．1800
【分析】根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的，可得出样本容量，即可得到赞成方案B的人数占比，用样本估计总体即可求解．
【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的，
∴样本容量为：（人），
∴赞成方案B的人数占比为：，
∴该校学生赞成方案B的人数为：（人），
故答案为：1800．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
16．1200
【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．
【详解】解：由题意得：2000×＝1200人，
故答案为1200．
【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．
17．9
【详解】∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线对称．
∴A（，n），B（，n）．
将A点坐标代入抛物线解析式，得：．
故答案为9
18．互余
【分析】在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴，根据正切和余切的定义进行计算求得当时两个角的关系.
【详解】解：如图：在∠α的边OA上取一点A，过点A作AB⊥x轴
在Rt△OAB中，
∴
此时+=90°
即当一个角的正切值等于另一个角的余切值时，此时两个角的和为90°
∴α+β=90°
故答案为：互余
【点睛】本题考查正切、余切的定义，掌握锐角三家函数的定义是本题的解题关键.
19．
【详解】解：如图所示，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．
如图点O即为圆心的位置，
由图可得：外接圆的半径==．
故答案为.
20．或
【分析】分两种情况讨论，分别画出适合的图形，再根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【详解】如解图①所示，
∵当时，
，
∴，解得；
如解图②所示，当时，
，
∴，
解得

故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）11；（2）72．
【分析】（1）根据频率＝求解可得；
（2）先根据频数的和是50求出m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数所占比例即可．
【详解】解：（1）n＝50×22%＝11；
（2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝9，
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t＜8这个范围内的人数是400×＝72（人）．
【点睛】本题考查了频数分布表和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
22．
【分析】由，可得： ，根据勾股定理的逆定理，可推出∠C=90°，则，根据求出.
【详解】解：∵
∴.
∴∠C=90°.
∵，
∴
设a=3x,c=5x,则根据勾股定理可求得b=4x.
∴= = .
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角函数的定义,掌握相关知识是解题的关键.
23．（1）50；（2）见解析；（3）72°；（4）150
【分析】（1）用D组的人数除以所占百分比即可；
（2）求出C组的人数，再补全统计图；
（3）用C组的人数除以样本人数，再乘以360即可；
（4）用样本中每天睡眠时间低于7时的人数除以样本总人数，再乘以1500可得结果．
【详解】解：（1）17÷34%=50人，
故本次共调查了50人，
故答案为：50；
（2）50-5-18-17=10人，
补全统计图如下：
（3）10÷50×360=72°，
故扇形统计图中C组所对圆心角为72°；
（4）样本中每天睡眠时间低于7时的有5人，
∴5÷50×1500=150，
∴该校有150名学生平均每天睡眠时间低于7时．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．
24．（1）抽样调查； （2） ；（3）1200
【分析】（1）先根据全面调查和抽样调查的定义进行判断，再根据1≤t<2时，在频数分布直方图和扇形统计图中的数据，计算即可求解．
（2）由（1）知总人数，根据频数分布直方图，求出时的人数，计算即可求解．
（3）由（1）知总人数，求出时的人数所占比例，计算即可求解．
【详解】（1）根据＂在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查＂可知，采取的调查方式是抽样调查．
由频数分布直方图可知：当1≤t<2，有100名；
由扇形统计图可知，当1≤t<2，人数占总人数的20%，
则总人数=名．
即n=500．
（2）由（1）可知，n=500
从频数分布直方图中，可得：
当时，人数=500-50-100-160-40=150名．
∴恰好在的范围的概率．
（3）由（1）可知，n=500．
从频数分布直方图中，可得：
当时，有40人，占总人数．
∴该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图和扇形统计图的应用，熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图中数值的意义是解题的关键．
25．（1）100人，图见解析；（2）36，16；（3）320人
【分析】（1）根据选择“书法”的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择“篮球”的占28%，即可求得选择“篮球”的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到m、n的值；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人．
【详解】（1）∵选择“书法”的学生人数为20人，所占的百分比为20%，
∴该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
选择“篮球”的学生有：100×28%＝28（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）∵选择“摄影”的学生人数为36人，选择“乒乓球”的学生人数为16人，
∴m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，
故答案为：36，16；
（3）由（2）得选择“乒乓球”的学生占16%，
∴2000×16%＝320（人），
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．