【精选备课】2022-2023学年湘教版（2012）数学九年级上册 第三单元测试（含解析）

第三单元测试
一、单选题
1．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．5
2．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．
4．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
6．如图，．若，则的长为( )
A． B． C． D．无法确定
7．某学习小组在讨论“变化的三角形”时，知道大三角形与小三角形是位似图形(如图所示)，则小三角形上的顶点(a，b)对应于大三角形上的顶点 ( )
A．(－2a，－2b) B．(2a，2b) C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)
8．如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )
A．米 B．米 C．米 D．10米
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则________．
12．设，那么__________．
13．已知，则 k的值是 _____ ．
14．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．
15．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为_____．
三、解答题
16．已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
18．如图，在矩形中，，平分，分别交的延长线于点；连接，过点作，分别交于点．
（1）求的长；（2）求证：．
19．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
20．如图：已知△ABC∽△DEC，∠D=45°，∠ACB=60°，AC=3cm，BC=4cm，CE=6cm．求：
（1）∠B的度数；
（2）求AD的长．
参考答案：
1．A
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【详解】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴，
即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题．
2．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3．C
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
4．C
【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
【详解】解：ABC的三边之比为，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
【点睛】本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
5．A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6．C
【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，再根据已知条件代入求值即可．
【详解】解：∵，即，
∴ ，
∵，＝，
∴ ，
解得＝.
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，列出比例式是解题的关键．
7．A
【详解】【分析】如图，过C作CR⊥X轴于R，CK⊥Y轴于K，过F作FG⊥X轴于G，FH⊥Y轴于H，根据中心对称图形的性质和位似图形性质得出，根据平行线分线段成比例定理得到，把（a，b）代入即可求出答案．
【详解】如图，过C作CR⊥X轴于R，CK⊥Y轴于K，过F作FG⊥X轴于G，FH⊥Y轴，根据图象得：，
∵大三角形与小三角形是位似图形，
∴，
根据平行线分线段成比例定理得：
，
∵CR=OK=-b，CK=OR=-a，
∴FH=OG=-2a，FG=-2b，
∴小三角形上的顶点（a，b）对应于大三角形上的顶点是（-2a，-2b），
故选A.
【点睛】本题考查了位似变换，平行线分线段成比例定理，关于原点对称的点的坐标等，熟练掌握和灵活运用相关性质进行解答是关键．
8．A
【详解】试题解析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴
∴
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
9．D
【详解】试题分析：由DE∥BC，DB=2AD可得△ADE∽△ABC，．根据相似三角形的性质可得，得S△ABC=9．SDBCE=SABC﹣S△ADE=8，故答案选D．
考点：相似三角形的判定与性质．
10．A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
11．
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
12．
【分析】根据已知条件用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
13．2或﹣1##﹣1或2
【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值．
【详解】解：∵，
∴，
分两种情况：
①若a+b+c≠0，则k=2；
②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1；
故答案为：2或﹣1．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键．
14．．
【详解】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，
∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，
∵DE∥AC，
∴，即，解得BC=（负值已舍去），
即BC的长为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．
15．或
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
【详解】如图，在Rt△AOB中，OB==10，
∴OM=5，OM′=，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=5-=；
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=5+=，
故答案为或．
【点睛】本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16．证明见解析.
【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题．
【详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．
17．（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
18．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）由，平分，可得，得出，可证出，则，可求出长；
（2）由，可求出，则，可得，则，根据，可得，结论得证．
【详解】（1）解：∵矩形中， ，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得
∴；
（2）∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
．
【点睛】考核知识点：相似三角形综合运用.证明相似三角形，运用相似三角形性质是关键.
19．（1）证明见解析；（2）cm， cm2．
【分析】（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC；
(2)解：设AD与EH交于点M
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝.
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为 cm2.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两个三角形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比是本题的解题关键．
20．(1) 75°；(2)cm.
【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．
【详解】（1）∵△ABC∽△DEC，
∴∠A=∠D=45°，
在△ACB中，∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣45°﹣60°=75°；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴，
即DC=×CE=cm，
∴AD=AC+CD=cm．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．