【精选备课】2022-2023学年湘教版（2012）数学九年级上册 第四单元测试（含解析）

第四单元测试
一、单选题
1．在中，，，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
2．在中，，于点D，下列式子表示B错误的是　　
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE=，∠EAF=135°，则下列结论正确的是（　 　）
A．DE=1 B．tan∠AFO= C．AF= D．四边形AFCE的面积为
4．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（　　）
A．56米 B．66米 C．（56+20）米 D．（50+20）米
5．在Rt△ABC中，cosA= ，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
9．sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，有一斜坡的长米，坡角，则斜坡的铅垂高度为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是____.
12．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）
13．如图，在中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为_．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=_____.
15．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
三、解答题
16．我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75)
17．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
18．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
19．根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9.
20．如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
参考答案：
1．C
【分析】题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
①当为斜边，．
，，
．
；
②当为斜边，．
由勾股定理得：．
；
综上所述，的值等于或，
故选C．
【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．
2．D
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在中，于点D，
∴∠B=∠ACD
sin∠ACD=
，
故选D．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦函数是对边与斜边的比进行解答．
3．C
【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝1，AC⊥BD，∠ADO＝∠ABO＝45°，
∴OD＝OB＝OA＝，∠ABF＝∠ADE＝135°，
在Rt△AEO中，EO＝，
∴DE＝，故A错误．
∵∠EAF＝135°，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝45°，
∵∠ADO＝∠DAE＋∠AED＝45°，
∴∠BAF＝∠AED，
∴△ABF∽△EDA，
∴，
∴，
AF＝，故C正确，
OF=
tan∠AFO＝，故B错误，
∴S四边形AECF＝ AC EF＝××＝，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠EAF＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出AF的长，然后根据对称性求出四边形的面积．
4．C
【分析】根据题意可得：BE=CF=20米，根据斜坡AB的坡比为1：2.5可得：AE=50米；根据∠D=30°，CF=20可得：DF=米，则AD=AE+EF+DF=(56+)米，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
根据题意得：BE=CF=20米，EF=BC=6米，∠D=30°，
∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，
∴，解得：AE=50米，
∵∠D=30°，
∴，
∴米，
∴米．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
5．B
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【详解】：∵Rt△ABC中，cosA= ，
∴sinA= =，
故选B．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．
6．A
【分析】根据锐角三角函数关系得出tan30°=进而求出BC的长，即可得出答案．
【详解】根据题意得出：AC=24m，∠A=30°，
则tan30°==,
解得：BC=8.
故选A.
【点睛】考查了解直角三角中仰角问题，根据已知得出AC=24m，∠A=30°再利用锐角三角函数求出是解题关键．
7．A
【分析】在直角三角形ADE中，cosA== ,可以求得AB，再利用勾股定理求得DE，即可求得．
【详解】解：设菱形的边长为t
故选A
【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
8．C
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
9．B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
10．C
【分析】根据三角函数的定义，结合题意，即可得到答案．
【详解】结合题意，得：
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，从而完成求解．
11．2
【详解】作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6，解得x=
∴AD=×=2．
点睛： 本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质
12．233m
【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
，
，
解得，x≈233．
所以，热气球离地面的高度约为233米．
故答案为：233．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
13．8
【分析】根据AC及cosA求出AB，根据勾股定理求出BC.
【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝10，
∴BC＝．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
14．
【分析】设AD=BC=x，可证△ABC∽△CBD，根据相似三角形的性质表示出BD的长，然后在△Rt△BCD中，利用余弦的定义求解即可.
【详解】设AD=BC=x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即，
∴BD=x，
∴cos∠B==，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，由△ABC∽△CBD表示出BD的长是解答本题的关键.
15．20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
16．1.3米.
【详解】试题分析：首先过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），则在Rt△AEN中，∠AEN=45°，可得EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，可得，则可得方程：，解此方程即可求得答案．
17．沿海城市B会受到这次风暴的影响,受影响的时间为4小时
【分析】作出图像,求出风暴离B城市的最近距离BD= 30千米，判断出沿海城市B会受到这次风暴的影响,接下来计算受影响的时长,得沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF,求出EF的长,除以速度即可解题.
【详解】根据题意画出图形,
根据题意可知AB=60千米，∠BAF=30°
过B作BD⊥AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F
∵ BD⊥AF,AB=60千米,∠BAF=30°
∴ 风暴离B城市的最近距离为BD=AB×sin30°=30千米，
∵ BD＜50千米
∴ 沿海城市B会受到这次风暴的影响
∵ BE=BF=50千米
∴ 沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF
∵ BE=BF=50千米，BD=30千米，BD⊥AF
∴ DF=DE=
∴ EF=2DF=80千米
∵ 风暴速度为每小时20千米
∴ 受影响时间==4小时
∴沿海城市B会受到这次风暴的影响,受影响的时间为4小时．
【点睛】本题主要考查了,含30°的特殊直角三角形的实际应用,中等难度,在理解题意的基础上求出BD与EF的长是解题关键.
18．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】解：作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=，
∴PC=PA cos∠APC=40（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=，
∴PB==40≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
19．(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4；(2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6.
【详解】试题分析：（1）利用勾股定理和锐角三角函数的边角关系求出其他要素即可；
（2）利用勾股定理和锐角三角函数的边角关系求出其他要素即可.
试题解析：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°-60°=30°，
∴b=c=× =4 ，由勾股定理得，a= =12；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∴c= =6，
∴sinA= = ，∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.
20．（1）75°；（2）
【分析】（1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答；
（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
【详解】（1）如图：过点A作于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
(2)∵在RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．