6.3 实数
一、基础过关
1．数轴上所有点表示的数是（ ）
A．全体有理数 B．全体无理数 C．全体实数 D．全体整数
2．若=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点右侧
C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
3．一个实数的绝对值是它的相反数，这个实数是（ ）
A．负实数 B．非正实数 C．非零实数 D．任意实数
4．负数a与它的相反数的差是（ ）
A．2a B．0 C．-2a D．a-
5．下列结论中正确的个数为（ ）
（1）零是绝对值最小的实数；（2）数轴上所有的点都表示实数；
（3）无理数就是带根号的数；（4）-的立方根为±；
（5）一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；（6）所有实数都有倒数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知x，y是实数，+y2-6y+9=0，若axy-3x=y，则实数a的值是（ ）
A． B．- C． D．-
7．如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（ ）
A．若│a│=│b│，则a=b B．若a
C．若=，则= D．若a>b，则>
8．若x2+mx+3是完全平方式，则m=______．
9．把下列各数分别填入相应的集合中：
，，，-，-，，，-，，，0，0.5757757775……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）．
10．设a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，
化简：+（a+b）m-│m│．
二、综合创新
11．（综合题）已知=4，且（y-2z+1）2+=0，求的值．
12．（应用题）用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P=．有两个外观相同的用电器，甲的电阻为18．4欧，乙的电阻为20.8欧．现测得某用电器的功率为1500瓦，两端电压在150伏至170伏之间，该用电器到底是甲还是乙？
13．（2005年，武汉）若a≤1，则，化简后为（ ）
A．（a-1） B．（1-a）
C．（a-1） D．（1-a）
三、培优作业
14．（探究题）可以证明对于任意一个直角三角形，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方．
请利用上述结论在数轴上作出表示下列各数的点：，-，．
数学世界
估计
日常生活中我们常常需要估计．
盖一座楼房需要多少石子？多少钢筋？多少水泥？多少人工？多少经费？多少时间？这些都应事先估计一下，作个预算．
估计，需要利用不等式．
面积为2的正方形，它的边长不是整数，设边长为x，我们来估一估x的大小；
首先，12<2<22，所以1即x比1大比2小，这个估计比较粗糙，稍微精确一些，算出1.12、1.22、1.32、1.42，它们都小于2，而1.52大于2，所以
1.4再精确一些，算出1.412<2，1.422>2，所以 1.41这样继续下去，可以得出一串x的近似值，1，1.4，1.41，…，它们都小于x，称为x的不足近似值；同时，还有一串大于x的近似值，2，1.5，1.42，…它们称为x的过剩近似值．
事实上，x是一个无限不循环小数．
你能估计的大小吗？
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．A
5．B 点拨：只有（1），（2）正确，故选B．
6．A
7．D 点拨：由│a│=│b│得a=b或a=-b，故A错误；
若取a=-1，b=0，此时a，
故B错误；由得a=b，但a，b可能为负数，
故错误；由a>b可得，故应选D．
8．±2 点拨：本题易错解为m=2．
9．
10．解：∵a与b互为相反数，∴a+b=0，∴c与d互为倒数，∴cd=1，
又∵m的倒数等于它本身，∴m=±1．
∴当m=1时，+（a+b）m-│m│=1-1=0；当m=-1时，+（a+b）m-│m│=-1-1=-2．
点拨：由题意可知a+b=0，cd=1，倒数等于它本身的数是±1，因此，m=±1．
11．解：由=4得x=64．
由（y-2z+1）2+=0
得
解之，得y=5，z=3．
∴===6．
12．解：将P=1500瓦，R甲=18.4欧代入P=得
U甲==≈166.1（伏）．
将P=1500瓦，R乙=20.8欧代入P=得
U乙==≈176.6（伏）．
因为150<166.1<170．
所以该用电器是甲．
13． B
14．如图：
数学世界答案：=1.73205080……。6.3 实数 第1课时 导学案
班级： 学生姓名：
自学——质疑——解疑
学习目标 1．了解无理数和实数的概念；
2．会对实数按照一定的标准进行分类；
3． 知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小。
自学方法 认真学习教材第53-54页的内容，然后小组交流讨论完成以下问题：
1．任何一个有理数都可以写成_______小数或________小数的形式。反过来，任何______小数或____________小数也都是有理数。
2．很多数的_____根和______根都是____________小数， ____________小数又叫无理数，也是无理数。
3．_______和_______统称为实数。
4．当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数.平面直角坐标系中的点与有序数对也是 的．
自测——互查——互教
1．判断：
①实数不是有理数就是无理数。（ ）
②所有的有理数都可以在数轴上表示，反之数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
③平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（ ）
2．下列说法正确的是（ ）.
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数
3．下列实数中是无理数的为（ ）
A. 0 B. C. D.
4、和数轴上的点一一对应的是（ ）
A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
展示——反馈——导学
自测——反馈——点拨
1. 把下列各数填入相应的集合里：
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，0，，3，0.13,0.1010010001，
（1）有理数集合 ：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
2．下列说法：①数轴上的点与有理数是一一对应的；②数轴上的点与实数是一一对应的；③若a是实数，则是无理数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
自测——反馈——点拨
1．请将数轴上的各点与下列实数对应起来：
，-1.5，， ，3
2．如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有 个，分别是 .
回顾——总结——反思
0
整数
分数
无理数
有理数
.. …6.3 实数 第2课时 导学案
班级： 学生姓名：
自学——质疑——解疑
学习目标 1. 了解实数范围内相反数和绝对值的意义；
2. 会比较两个实数的大小；
3. 能熟练地进行实数的运算。
自学方法 认真学习教材第55-56页的内容，然后小组交流讨论完成以下问题：
1. 数a的相反数是 .（这里的a表示任意一个实数）
2.一个正实数的绝对值是 ；一个负实数绝对值是 ；0的绝对值是 .
自测——互查——互教
1、的相反数是 ，的相反数是 ，
∣－π∣= ，绝对值等于的数是 。
2.(1)的相反数是 ,绝对值是 .(2) 。
3.三个数0.5、、按从小到大排列为 。 展示——反馈——导学
1.与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______。
2.实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，
如果遇到括号,则先进行括号里的运算。
3.有理数的运算律和运算法则
（1）交换律： 加法 a+b=b+a
乘法a×b=b×a
（2）结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c)
乘法（a×b）×c=a×（b×c）
（3）分配律： a× (b+c)= a×b+ a×c
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
自测——反馈——点拨
1、若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2、下列说法正确的有（ ）
(1)不存在绝对值最小的无理数;(2)不存在绝对值最小的实(3)不存在与本身的算术平方根相等的数(4)比正实数小的数都是负实数(5)非负实数中最小的数是0.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
3、下列说法中正确的是（ ）
A.实数是负数 B. C.一定是正数 D.实数的绝对值是
自测——反馈——点拨
1、在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A.若 B.若
C.若 D．若
2、已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
3、计算
(1)|-|+；(2)|-|-|-| (2)
回顾——总结——反思
O
（）（）)6.3 实数 第1课时
一、选择题
1．下列命题错误的是（ ）
A、是无理数 B、π＋1是无理数
C、是分数 D、是无限不循环小数
2. 下列各数中，一定是无理数的是（ ）
A、带根号的数 B、无限小数
C、不循环小数 D、无限不循环小数
3．下列实数，，，， ，中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列各式中，无论取何实数，都没有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（1）一个数的平方等于它的本身的数是
（2） 平方根等于它的本身的数是
（3）算术平方根等于它的本身的数是
（4）立方根等于它的本身的数是
（5）大于0且小于π的整数是
（6）满足＜x ＜的整数x是
6．到原点的距离为的点表示的数是 ；
7．若，则x = ，
8．实数与数轴上的点
9．写出和之间的所有的整数为____．
10．比较大小：____
三、解答题
11．把下列各数分别填在相应的括号内：，，，，，，，，，，，，，
整数；分数；
正数；负数；
有理数；无理数；
6.3 实数 第2课时
教学目标：有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍然.
一、选择题
1．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A．与 B． 与
C．与 D．与
2. 在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A．若 B．若
C．若 D．若
3. 若是有理数，则x是（ ）
A．0 B．正实数 C．完全平方数 D．以上都不对
二、填空题
4．计算：____．
5．点在数轴上和原点相距个单位，点在数轴上和原点相距个单位，则，两点之间的距离是____．
6．如果是的整数部分，是的小数部分， = ________．
三、解答题
7．计算：
（1）；
（2）；
（3）；（用计算器，保留个有效数字）
实数 第1课时参考答案：
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．B
二、填空题
5．（1）1 或 0 （2）0 （3）1 0 （4） 0 、1、 -1
（5） 1、2、3 （6） -4
6．- 或
7．或
8．一一对应
9．0 、1、 -1
10．＜
三、解答题
11．整数；分数：；
正分
实数 第2课时参考答案：
一、选择题
1．C
2．D
3．C
二、填空题
4．4
5．或
6．
三、解答题
7．（1） （2） （3）6.3 实数 第2课时
教学目标：
1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应。
2、学会比较两个实数的大小；能熟练地进行实数运算。
教学重点：
实数与数轴上的点一一对应关系。
教学难点：
对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。
教学过程
一、创设情景，导入新课
复习导入：1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、平方差公式、完全平方公式
4、有理数的混合运算顺序
二、合作交流，解读探究
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
1、讨论 下列各式错在哪里？
（1） （2）
（3） （4）当时，
2、例2计算下列各式的值：
（1）
（2）
解：
3、 计算：（结果精确到0.01）
·
（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算．）
三、练习：
1、课本练习第4题
2、计算
四、小结：
1、实数的运算法则及运算律。
2、实数的相反数和绝对值的意义
五、作业：
习题6.3第4、5、6、7题；
解：（1）6.3 实数
一、填空：
1.若无理数a满足：12.在数轴上离原点距离是的点表示的数是_________.毛
3. 的相反数是_______,-的相反数是________.
4.|2-| =________,|3-|=________.
5.比较大小:3______, 7_____6,-______-3,____()3
6.大于-而的所有整数的和_______.
7.设a是最小的自然数数,b是最大负整数,c是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.
二、选择：
8.(上海市)下列命题中正确的是( )
A.有限小数不是有理数 B.无限小数是无理数
C.数轴上的点与有理数一一对应 D.数轴上的点与实数一一对应
9.(安徽省)下列四个实数中是无理数的是( )
A.2.5 B. C. D.1.414
10.(杭州市)有下列说法:①带根号的数是无理数;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④-是17的平方根,其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.-、-、、-四个数中,最大的数是( )
A. B.- C.- D.-
12.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )
(1)=0; (2)+a=0; (3)+=0; (4)=0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答：
13.把下列各数分别填在相应的集合中:
-,,-,0,-, .,,3.14
有理数集合 无理数集合
14.根据右图拼图的启示:
(1)计算+=________;
(2)计算+=________;
(3)计算+=________.
15.阅读下面的文字,解答问题.
大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用-1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
请解答:已知:10+=x+y,其中x是整数,且0参考答案
1.答案不唯一，如： 2.± 3.- ,- 4.-2, -3 5.<,>,>,= 6.-4 7.-1
8.D 9.C 10.B 11.B 12.C
13.有理数集合: -,-,0, ,,3.14 .
无理数集合:,-,.
14.(1)3 (2)6 (3)12.
15. x=11, y=-1, x-y的相反数-12。毛
……
……6.3 实数
一、填空题
1.在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________.
2.已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________.
3.设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，三个数的积等于_________.
4.任何一个实数在数轴上都有一个__________与它对应，数轴上任何一个点都对应着一个___________.
5.绝对值等于它本身的数是________，平方后等于它本身的数是________.
6.实数a,b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a____0,a+b___0,－｜b－a｜___0,化简｜2a｜－｜a+b｜=________.
7.已知:=102,=0.102,则x=________.
8.+｜2x－y－5｜=0,则x=________,y=________.
二、选择题
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.任何实数的平方都是正数 B.正数的倒数必小于这个正数
C.绝对值等于它本身的数必是非负数 D.零除以任何一个实数都等于零
2.m是一个整数的平方数，那么和m相邻且比它大的那个平方数是（ ）
A.m+2+1 B.m+1
C.m2+1 D.以上都不对
3.若a,b为实数，下列命题中正确的是（ ）
A.若a＞b,则a2＞b2 B.若a＞｜b｜,则a2＞b2
C.若｜a｜＞b,则a2＞b2 D.若a＞0,a＞b,则a2＞b2
4.全体小数所在的集合是（ ）
A.分数集合 B.有理数集合
C.实数集合 D.无理数集合
三、铁笔判官
甲、乙两人计算算式x+的值，当x=3的时候，得到不同的答案，其中甲的解答是x+=x+=x+1－x=1
乙的解答是x+=x+=x+x－1=5
哪一个答案是正确的？为什么？对的说出理由，错的指出错误的原因.
四、1.请你试着计算下列各题
(1)－=____ (2)=_____
(3)|－π|=______ (4)|4－π|=______
(5)=_____ (6)=_____
2.快速抢答
①通过以上运算，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数是否一样？
②请填空：
2=_____ =_____
=_____ =_____
参考答案
一.(1)0 －1 (2)正数 (3) －a (4)点实数 (5)0和正数 0和1 (6)＜ ＞ ＜ －3a－b (7)0.010404 (8)x=2 y=－1
二、1.C 2.A 3.B 4.C
三、乙的结果对，∵x=3,∴1－x＜0即=x－1
而不是=1－x,∴乙对
四、略6.3 实数 第1课时
教学目标：
了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。
教学重点：
实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。
教学难点：
体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。
教学过程
一、导入新课：
使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
， ， ， ，
我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即
， ， ， ，
二、新课：
1、任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数，也是无理数；有理数和无理数统称为实数
像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：
2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－，，0，，－3
（2） 一个数的绝对值是，求这个数。
三、练习：
P56练习1、2、3
四、小结
1、什么叫做无理数？
2、什么叫做有理数？
3、有理数和数轴上的点一一对应吗？
4、无理数和数轴上的点一一对应吗？
5、实数和数轴上的点一一对应吗？
五、作业：
习题6.3第1、2、3题；