高二学业水平阶段性检测（二）
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
CBACB ACD
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9．BD 10．ACD 11．BD 12．AB
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． y 1；14．68；15． (2,2, 3)；16． 2 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17. （本小题满分 10 分）
2
解：（I） a2 ,a6 ,a22成等比数列， a 6 a2a22
即 (a 5d)2 (a d)(a 21d)……………………① 1 1 1
13是 a4和a6的等差中项， a4 a6 26
即 (a1 3d) (a1 5d) 26…………………………②
由①②可得：a1 1,d 3 …………………………………………………………3 分
an 1 (n 1) 3 3n 2………………………………………………………4 分
从而b3 a2 4，b5 a6 16，
数列{bn}是公比q为正数的等比数列，
b5 b
2 2
3q ，即16 4q ， q 2，
b b qn 3 2n 1从而 n 3 ………………………………………………………………6 分
n 1
（II）由于b 2 ，所以n b1 1
cn an bn
Tn c1 c2 cn (a1 b1) (a2 b2) (an bn )
(a1 a2 an ) (b1 b2 bn )
n(n 1) 1 2n 3 1
[n 3] 2n n2 n 1………………………………10 分
2 1 2 2 2
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）连接PG ，延长交 AD于N ，
G 为 PAD的重心， PG 2GN ，N 为 AD的中点，
AB a， AD b， AP c，
2 2 2 1 2 1 1 2
PG PN (AN AP) ( AD AP) ( b c) b c
3 3 3 2 3 2 3 3
CP CD DP AB (AP AD) a (c b) a b c
高二数学参考答案 第 1 页（共 7页）
1 2 2 1
CG CP PG ( a b c) ( b c) a b c …………………3 分
3 3 3 3
1 2
（Ⅱ） PM MC， BM BC CM AD CP
2 3
ABCD是边长为1的正方形，
CP AP AC AP (AB AD) P
AP AB AD，
2 M
BM AD (AP AB AD)
3
2 1 2
AB AD AP
3 3 3 G
D
2 1 2 C
BM a b c…………5 分
3 3 3 N
由题意可知：| a | | b | 1，| c | 2，c与a、 A
B
b 的夹角均为600，a与b 的夹角为900．
| BM |2
2 1 2 4 1 4 4 8 4
( a b c)2 | a |2 | b |2 | c |2 a b a c b c
3 3 3 9 9 9 9 9 9
4 1 4 8 4 17
4 1 2cos60o 1 2cos60o
9 9 9 9 9 9
17
| BM | ………………………………………………………………………7分
3
2 1 4 1 4 2 4
| CG |2 ( a b c)2 | a |2 | b |2 | c |2 a b a c b c
3 3 9 9 3 3 9
4 4 2 4 7
1 1 2cos60o 1 2cos60o
9 9 3 9 9
7
| CG | ……………………………………………………………………9 分
3
2 1 2 2 1
BM CG ( a b c) ( a b c)
3 3 3 3 3
2 2 2 8 1
| a |2 | b |2 | c |2 a c b c
3 9 9 9 3
2 2 2 8 o 1 1 4 1 2cos60 1 2cos60o ……………………11 分
3 9 9 9 3 9
设BM 与CG 的夹角为 ，则
高二数学参考答案 第 2 页（共 7页）
1
BM CG
cos 9
119
……………………………………12 分
| BM | | CG | 17 7 119
3 3
19. （本小题满分 12 分）
解：（I）直线 AB的斜率为 kAB 2 ，
2
AB BC， 直线BC的斜率为 kBC ，
2
2
直线BC的方程为： y x 2 2
2
令 y 0，则 x 4， C(4,0) ……………………………………………………3 分
由于三角形是以B 为直角顶点的直角三角形，所以其外接圆的直径为 AC ，
从而外接圆的圆心为 (1,0)，半径为3
2 2三角形 ABC外接圆的方程为： (x 1) y 9，
x2其一般方程为： y2 2x 8 0………………………………………………6 分
（II）三角形 ABC的外接圆的圆心E(1,0)，
M 为OA的中点， M ( 1,0)
| PM | | PE | 1 2 | ME |，
P的轨迹是以M , E 为焦点的双曲线的右支，…………………………………8 分
x2 y2
设其方程为： 1（a 0,b 0, x a）
a2 b2
1
则2a 1，2c 2，从而a ,c 1,b2 c2
3
a2
2 4
4y2 1
点 P的轨迹方程为：4x2 1（ x ）……① ……………………10 分
3 2
设G(x, y)，P(x0 , y0)，
x
x
0
2 x0 2x
G 为OP的中点， ，从而 ， P(2x,2y)
y y0 2yy 0
2
16y2 1
代入①得点G 的轨迹方程为：16x2 1（ x ）……………………12 分
3 4
20．（本小题满分 12 分）
解：（I）证明：在 PAD中，
PA 1， AD 2， ADP 30o，
2 2 2
由余弦定理可得：PA AD PD 2AD PD cos ADP
高二数学参考答案 第 3 页（共 7页）
即1 4 PD2 4PD cos30o PD 3 ……………………………………1 分
AD2 PA2 PD2， z
从而PD PA……………………2 分 B C
BAD 90o， AB AD
M
平面 ABCD 平面PAD，
AB 平面PAD， A
PD 平面PAD， D y
PD AB………………………3 分
E
AB PA A，
P
PD 平面PAB ………………4 分 x
PB 平面PAB，
PD PB…………………………………………………………………………5 分
3 1
（II）以 A为原点，以 AD为 y 轴，建系如图所示，则B(0,0,1)，P( , ,0)，
2 2
3 5 3 1
C(0,1,1)，D(0,2,0)，E( , ,0)， CE ( , , 1)
4 4 4 4
设PM PC（0 1），则
BM BP PM BP PC
3 1 3 1 3 1
( , , 1) ( , ,1) ( (1 ), (1 ), 1)
2 2 2 2 2 2
设异面直线BM 和CE所成角为 ，则
BM CE | 6 5 | 10
cos cos BM ,CE
| BM | | CE | 2 5 2 2 3 2 5
2
…………………………………………………………………………8 分
3
3 5 1
此时，BM ( , , )， AB (0,0,1)
6 6 3
设面MAB的一个法向量为n1 (x1, y1, z1)，
z 0
n
1
1 AB 0
由 3 5 1
n BM 0 x1 y z 01 1 1
6 6 3
令 y1 3，则 x1 5，z1 0，取n1 ( 5, 3,0) ……………………………9 分
设面PCD的一个法向量为n2 (x2 , y2 , z2)，
高二数学参考答案 第 4 页（共 7页）
3 1
PC ( , ,1) ，CD (0,1, 1)，
2 2
y z 0
n2 CD 0
2 2
由 3 1
n2 PC 0 x2 y2 z2 0
2 2
令 x 3 ，则2 y2 1， z2 1，取n ( 3,1,1)……………………………10 分 2
设面MAB与面PCD的夹角为 ，则
n n 2 105
cos 1 2 ……………………………………………………12 分
| n | | n | 351 2
21．（本小题满分 12 分）
解：（I）由 S1 2a1 1可得：a1 2a1 1 a1 1
Sn 2an 1， Sn 1 2an 1 1
a
两式相减： S S 2a n 1n 1 n n 1 2an an 1 2an 1 2an 2
an
数列{an}是以a1 1为首项，以2为公比的等比数列，
a 2n 1从而 n …………………………………………………………………………3分
Tn 1 2
0 3 21 (2n 1) 2n 1
2Tn 1 2
1 3 22 (2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n
1
两式相减得： Tn 1 2(2 2
2 2n 1) (2n 1) 2n
2 (1 2n 1)
1 2 (2n 1) 2n 3 (2n 3) 2n
1 2
T nn (2n 3) 2 3………………………………………………………………6 分
n n n n
（II） cn 3 2 ( 1) an 3 ( 2)
由cn c
n n n 1 n 1
n 1可得：3 ( 2) 3 ( 2)
n n 1
即 ( 2) 2 3 …………………………………………………………………8 分
3
当 n n 1为偶数时， ( )
2
3
( )n 1
3
n n 2 ( )n 1由于 随着 的增大而减小，所以当 时， 取最大值，最大值为
2 2
3 3
，此时 …………………………………………………………………10 分
2 2
3 n 1
当 n为奇数时， ( )
2
高二数学参考答案 第 5 页（共 7页）
3
( )n 1
3 n 1
由于 随着n的增大而增大，所以当n 1时， ( ) 取最小值，最小值为1
2 2
此时 1
3
综上可知： 1……………………………………………………………12 分
2
22．（本小题满分 12 分）
解: （I） 抛物线 y2 4 3x的焦点为 ( 3,0)， c 3……………………1 分
a2 2从而 b 3……①
x y
直线 l : 1与圆 x2 y2
1
2相切， 2 ……② ………2 分 1
a b 1 1
a2 b2
由①②得：a 6,b 3…………………………………………………………3 分
x2 y2
椭圆 的方程为： 1 …………………………………………………4 分
6 3
S S
1 AOM
| OM |
（II） M 为线段 AB的中点，
S2 S BOP | OP |
（1）当直线 l2的斜率不存在时，l2 x轴，由题意知OA OB，结合椭圆的对
称性，不妨设OA 2所在直线的方程为 y x，得 xA 2，
2 2 S1 | OM | | xM | 3从而 xM 2， xP 6， …………………………5 分
S2 | OP | | xp | 3
（2）当直线 l2的斜率存在时，
设直线 l2 : y kx m（m 0）， Ax( ,y1 ,)1( B, x)y2 2
y kx m
由 x2 y2
2 2
可得： (2k 1)x 4kmx 2m2 6 0，
1
6 3
16k2m2 4(2k2 1)(2m2 6) 0 6k2 m2由 可得： 3 0……（ ）
4km 2m2 6
x1 x2 ， x1x2 2 2k 1 2k 2 1
O点在以 AB为直径的圆上， OA OB 0，即 x1x2 y1y2 0，
x1x2 y1y2 (1 k
2)x1x2 km(x
2
1 x2) m 0，
2
2 2m 6 4km
即 (1 k ) km( ) m2 0
2k 2 1 2k 2 1
m2 2k2 2，……（ ） ……………………………………………………7 分
满足（ ）式.
高二数学参考答案 第 6 页（共 7页）
2km m
∴线段 AB的中点M ( , )
2k 2 1 2k 2 1
S | OM | | m | 6
若 k 0时，由（ ）可得：m2 2，此时
1 ………8 分
S2 | OP | 3 3
1
若 k 0时，射线 OM 所在的直线方程为 y x，
2k
1
y x 2 2k 12k
由 可得： x
2
P
x
2 y2 2k
2 1
1
6 3
S1 | OM | | x | m
2
M 2k
2 2 1 1
(1 ) ……10 分
S2 | OP | | x | 3(2k
2 1) 3(2k 2p 1) 3 2k
2 1
k 2
S 3 6
随着 的增大而减小， k 0， k 2 0， 1 ( , )……………11 分
S2 3 3
S 3 6
综上， 1 [ , ] …………………………………………………………12 分
S2 3 3
高二数学参考答案 第 7 页（共 7页）高二学业水平阶段性检测（二）
数学试题
本试卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置
上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对于直线 l : x 3y 6 0，下列选项正确的为
A．直线 l倾斜角为 B．直线 l在 y 轴上的截距为2 3
3
C．直线 l不过第二象限 D．直线 l 过点 (3, 3)
2．在数列{an}中，a1 1，a a
2 1，则它的前四项和 n 1 n S4
A． 1 B．0 C．1 D．2
2 2
3．如果直线 l将圆C : x y 2x 6y 0平分，且不通过第四象限，那么直线 l
的斜率的取值范围为
1 1
A.[0,3] B. [0,3) C. [0, ] D. (0, )
3 3
b
4．已知数列{an}和{bn}满足a b 3，a
n 1
1 1 n 1 an 3，若数列{cn}满足
bn
cn ba ，则c2016 n
92015A． B．272015 2016 2016 C．27 D．9
高二数学试题 第 1页（共 6页）
5．已知直线 l 和平面 ABC ，若直线 l 的方向向量为 n (3, 2, 4) ，向量
AB (1,0, 1)， AC (2,1,0)，则下列结论一定正确的为
A. l 平面 ABC B. l与平面 ABC相交
C. l //直线BC D. l //平面 ABC或 l 平面 ABC
2 o
6．设 F 为抛物线C : y 3x的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交抛物线C 于
A, B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为
9 30 9 21 3
A． B． C． D．
4 16 8 16
7．若直线mx ny 5 0与圆 x2 y2 5没有公共点，则过点P(m,n) 的一条直
x2 y2
线与椭圆 1的公共点的个数为
7 5
A．0 B．1 C．2 D．1或 2
8．已知正四面体 ABCD的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当
PA PD取得最小值时，点P 到 AD的距离为
2 6 3 2 2 3 3 2 6
A． B． C． D．
4 12 12 12
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知直线l :2mx y 1 0 (m R) 2，圆E : x y2 2x 2y 7 0，则下列
选项正确的为
A．圆心E 到直线 l的距离的最大值为5
B．圆E 和直线 l相交，所得的弦的长度取最小值时， l的方程为 x 2y 2 0
C．圆E 和直线 l相交，所得的弦的长度的最大值为9
D．圆E 被直线 l分成两段圆弧，当大小两段圆弧的长度之比为3:1时，直线 l 的
方程为 x y 1 0或 x 7y 7 0
x2 y2 3
10．已知椭圆C : 1（a b 0）的离心率为 ，G 为其上的一个动
a2 b2 2
F F 2 2点， 1和 2为其左、右焦点；双曲线 x y 1的两条渐近线与椭圆C 有四个交
点，按逆时针方向顺次连接这四个交点得到的四边形的面积为16，则下列结论正确
的为
x2 y2
A．椭圆C 的方程为： 1 B． GF1F2面积的最大值为5 2
20 5
2 2
C． F1GF2的最大值为 D．若P(0,4)，则 | PG |的最大值为 93
3 3
高二数学试题 第 2页（共 6页）
11．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB 4，BC 2，M , N
分别为棱C1D1,CC1的中点，则下列说法正确的是 D M 1 C1
8
A. 直线BC到平面 ADM 的距离为 A1 B1 N
5
B. 直线BN 与平面 ADM 相交 D C
C. 直线BN 和B1M 所成的角为
A
30o B
D. 平面 ADM 和平面 A1B1C1D1的夹角的正切值为2
12．已知等差数列{an}的首项为1，公差d 4，前n项和为 Sn ，则下列结论成立
的是
S
A．数列 n 的前10项和为100
n
B．若a1,a3,am 成等比数列，则m 21
1 1 1 1 6
C．若 ，则n的最小值为6
a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 25
1 16 25
D．若am an a2 a10 ，则w 的最小值为
m n 12
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1 2
13．抛物线 y x 的准线方程为 ；
4
14．若5是a与b 的等差中项，4是 a与b 的等比中项，则a2 b2 ；
15．已知a (1,1,0)，b (1,1,1)，若b b1 b2 ，b1 //a ，b2 a，则向量2b1 3b2
的坐标为 ；
x2 y2
16．已知双曲线C : 1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1, F2 ，过F
a2 b2
2
作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F2H 的中点M 在双曲线C 上，
则双曲线C 的离心率为 ．
高二数学试题 第 3页（共 6页）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（10 分）已知{an}是公差d 0的等差数列，其中a2 ,a6 ,a22成等比数列，13
是 a4和a6的等差中项；数列{bn}是公比q为正数的等比数列，且b3 a2 ，b5 a6 .
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）令c a b ，求数列{c }的前n项和T . n n n n n
18．（12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为1的正方形，
1
侧棱 AP的长为2， PAD PAB 60
o
，M 在棱PC上，PM MC ，G 为
2
PAD的重心，设 AB a， AD b， AP c．
（Ⅰ）试用a,b,c表示出向量CG ； P
（Ⅱ）求BM 与CG 夹角的余弦值． M
G
D
C
A
B
高二数学试题 第 4页（共 6页）
19．（12 分）已知直角三角形 ABC的顶点 A( 2,0)，直角顶点B 的坐标为
(0, 2 2)，顶点C 在 x轴上.
（I）求直角三角形 ABC的外接圆的一般方程；
（II）设OA的中点为M ，动点P 满足 | PM | | PE | 1，G 为OP的中点，其中
O为坐标原点，E 为三角形 ABC的外接圆的圆心，求点G 的轨迹方程.
20．（12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，平面 ABCD 平面PAD，AD//BC，
AB BC PA 1， AD 2 o， ADP 30 ， BAD 90o，E 是PD的中点.
（I）求证：PD PB；
10
（II）若点M 在线段PC上，异面直线 BM 和CE所成角的余弦值为 ，求面
5
MAB与面PCD夹角的余弦值.
B C
M
A
D
E
P
高二数学试题 第 5页（共 6页）
21．（12 分）已知数列{an}的前 n项和为 Sn ，且Sn 2an 1.
（I）令b (2n 1)a ，求数列{bn}的前n项和T ； n n n
（II） 设c 3n 2 ( 1)n a（ 0），是否存在实数 使得对于任意的n N ，n n +
恒有cn cn 1？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
x2 y2
22．（12 分）已知抛物线 y2 4 3x的焦点与椭圆 : 1（a b 0）
a2 b2
x y 2 2
的右焦点重合，直线 l1 : 1与圆 x y 2相切.
a b
（I）求椭圆 的方程；
（II）设不过原点的直线 l2与椭圆 相交于不同的两点 A, B，M 为线段 AB 的中
点，O为坐标原点，射线OM 与椭圆 相交于点P ，且O点在以 AB 为直径的圆
S
上，记 AOM ， BOP的面积分别为 S1,S
1
2，求 的取值范围.
S2
高二数学试题 第 6页（共 6页）
