【核心素养目标】1.4二次函数与一元二次方程的联系 教学设计

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湘教版版九年级下册数学1.4二次函数与一元二次方程的联系教学设计
课题 1.4二次函数与一元二次方程的联系 单元 第一单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本章前两节学习了二次函数的解析式的形式，以及由不共线的三点确定二次函数y=ax +bx+c（a≠0）解析式。当y=0时，就转化为方程ax +bx+c=0（a≠0）；二次函数与y轴的交点的横坐标，就是对应的方程ax +bx+c=0（a≠0）的根。此时二次函数与一元二次方程就有了联系，我们这节课就研究二者之间的关系。
核心素养分析 本节内容是研究二次函数以及一元二次方程的联系，二次函数模型比较重要，而画出二次函数图像比较直观，方便研究二次函数与y轴的交点，可以培养学生的建模能力，另外，对于一元二次方程的计算，又锻炼了学生的运算能力，本节课也体现了数形结合的思想。
学习目标 1. 理解二次函数的图象与一元二次方程的根的关系； 2. 利用根的判别式△判断二次函数图象与x轴的位置关系； 3. 运用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值；4. 运用一元二次方程ax2+bx+c=M，求二次函数的自变量。
重点 理解二次函数的图象与一元二次方程的根的关系理解根的判别式△判断二次函数图象与x轴的位置关系
难点 运用一元二次方程ax2+bx+c=M，求二次函数的自变量
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 利用判别式△=b2-4ac如何判定一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况？1.b2-4ac＞0，一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根。2.b2-4ac＜0，一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根3.b2-4ac=0，一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根。 回顾知识，温故知新，复习利用判别式△=b2-4ac判定一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况 学生复习一元二次方程的知识，引入本节二次函数与一元二次方程的关系。
讲授新课 画出二次函数y=x2-2x-3的图象,你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？ 二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0有怎样的关系？如图1-14，二次函数y= x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.由交点坐标可知， 当x＝-1 时，y＝0 ，即 x2-2x-3＝0，也就是说，x＝-1是一元二次方程 x2-2x-3＝0的一个根。同理，当x＝3时，y＝0，即x2-2x-3= 0，也就是说，x＝3 是一元二次方程 x2-2x-3＝0 的一个根. 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x＝x1，x＝x2.动脑筋观察二次函数 y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如图1-15），分别说出一元二次方程x2-6x+9＝0 和 x2-2x+2＝0 的根的情况.二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点， 其坐标都是（3，0），而一元二次方程x2-6x+9＝0有两个相等的实根：x1＝3， x2=3. 二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程 x2-2x+2＝0没有实数根.从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.例1 求一元二次方程x -2x-1=0的根的近似值(精确到0.1)分析：一元二次方程x２-2x-１＝0的根就是抛物线y＝x２-2x -１与ｘ轴的交点的横坐标． 因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与ｘ轴 的交点的横坐标 .这种解一元二次方程的方法叫作图象法．解： 设二次函数y=x -2x-1.作出二次函数y=x -2x-1的图象.可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点是横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程 x -2x-1=0的实数根为x1≈0.4，x2≈2.4. 我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数y=x -2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：可以发现：当x=-0.5时，y=0.25＞0； 而当x=-0.4时，y=-0.04＜0. 结合图象可以看出：使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5＜x＜-0.4.题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均符合题意。但当x=-0.4时，y=-0.04，比x=-0.5时，y=0.25更接近于0，故选x=-0.4。同理，借助计算器，我们也可以确定方程 x -2x-1=0的另一个实数根为x=2.4.如何利用二次函数求一元二次方程的实数根 ①根据一元二次方程设对应的二次函数;②画出这个二次函数的图象;③找出二次函数的图象与与x轴的两个交点;④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的估计值.例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么 解：由抛物线的表达式得 即 x2-6x+5=0， 解得 x1 = 1，x2 = 5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）由抛物线的表达式得 即 x2-6x+9=0，解得 x1=x2= 3. 当铅球离地面的高度为2.5 m时，它离初始位置的水平距离是3m. （3）由抛物线的表达式得 即 x2 -6x+14=0 ， 因为△=（- 6）2 - 4×1×14=-20<0，所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m.从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=M， 求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M， 这样， 二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了. 学生独立思考、小组合作，画出二次函数图形，研究二次函数与x轴的交点，得出方程的根与交点横坐标的关系。由特殊情况推广到一般，得出二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根。 学生总结二次函数图像与x轴的位置关系，以及方程的根，与判别式的关系。 通过例题，学生通过二次函数的图像，估计对应方程的根的近似值。 总结利用二次函数求一元二次方程的实数根学生利用二次函数与一元二次方程 的关系，解一元二次方程ax2+bx+c=M，求自变量的值，求解实际问题。 提出问题，激发学生学习兴趣，熟悉二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0的关系。学生熟悉记忆规律，学会运用。锻炼学生观察图像，估计方程的根。学生理解规律，运用规律解决问题 培养学生应用知识，解决实际问题的能力。
课堂练习 1.若函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是 ( )A. m>1 B. m<1 C. m≤1 D. m=1解：令y=0，即：x2+2x+m=0，Δ=b2-4ac=4-4m<0，即：m>1，故选A．2.若二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与x轴的一个交点为(-1,0)，则代数式2a-2b-5的值为( )A. -3 B. -4 C. -6 D. -7解：∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与x轴的一个交点为(-1,0)，∴x=-1时，a-b+1=0，∴a-b=-1，∴2a-2b-5=2(a-b)-5=-2-5=-7，故选：D．3.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是( )A. 6课堂小结 学生先发言总结，在教师的引导下总结归纳二次函数与一元二次方程的联系。 让学生自己对本节课知识进行整合归纳，培养学生养成及时总结的习惯，形成自己的知识体系。
板书 课题：1.4二次函数与一元二次方程的联系1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系2.利用图像法求一元二次方程的根的近似值3.解一元二次方程ax2+bx+c=M，求自变量的值
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