【新课标】1.4二次函数与一元二次方程的联系 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
1.4二次函数与一元二次方程的联系
湘教版 九年级下
教学内容分析
本章前两节学习了二次函数的解析式的形式，以及由不共线的三点确定二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的解析式。当y=0时，就转化为方程ax +bx+c=0（a≠0）；二次函数与y轴的交点的横坐标，就是对应的方程ax +bx+c=0（a≠0）的根。此时二次函数与一元二次方程就有了联系，我们这节课就研究二者之间的关系。
教学目标
1. 理解二次函数的图象与一元二次方程的根的关系（重点）
2. 利用根的判别式△判断二次函数图象与x轴的位置关系（重点）
3. 运用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值；
4. 运用一元二次方程ax2+bx+c=M，求二次函数的自变量（难点）
核心素养分析
本节内容是研究二次函数以及一元二次方程的联系，二次函数模型比较重要，而画出二次函数图象比较直观，方便研究二次函数与y轴的交点，可以培养学生的建模能力，另外，对于一元二次方程的计算，又锻炼了学生的运算能力，本节课也体现了数形结合的思想。
新知导入
利用判别式△=b2-4ac如何判定一元二次方程ax +bx+c=0
的根的情况？
1.b2-4ac＞0，一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根
2.b2-4ac＜0，一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根
3.b2-4ac=0，一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根。
新知讲解
画出二次函数y=x2-2x-3的图象.
探究
你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？
（-1，0），（3，0）
新知讲解
画出二次函数y=x2-2x-3的图象.
探究
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0有怎样的关系？
由交点坐标可知， 当x＝-1 时，y＝0 ，即 x2-2x-3＝0，
也就是说，x＝-1是一元二次方程
x2-2x-3＝0的一个根。
新知讲解
画出二次函数y=x2-2x-3的图象.
探究
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程 x2-2x-3=0有怎样的关系？
同理，当x＝3时，y＝0，即x2-2x-3= 0，
也就是说，x＝3 是一元二次方程
x2-2x-3＝0 的一个根.
新知讲解
一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x＝x1，x＝x2.
新知讲解
观察二次函数 y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如图1-15），分别说出一元二次方程x2-6x+9＝0 和 x2-2x+2＝0 的根的情况.
动脑筋
图1-15
新知讲解
二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是（3，0），而一元二次方程x2-6x+9＝0有两个相等的实根：x1＝3， x2=3.
图1-15
新知讲解
二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2＝0没有实数根.
图1-15
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c＝0的根
b2-4ac
有两个不同的交点
有两个不相等的实根
有两个重合的交点
有两个相等的实根
没有交点
没有实数根
＞0
=0
＜0
新知讲解
从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？
新知讲解
求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，
因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.
由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.
新知讲解
例1 求一元二次方程x -2x-1=0的根的近似值(精确到0.1)
分析:一元二次方程x２-2x-１＝０的根就是抛物线y＝x２-2x -１与ｘ轴的交点的横坐标．
因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与ｘ轴 的交点的横坐标 .这种解一元二次方程的方法叫作图象法．
新知讲解
解： 设二次函数y=x -2x-1.
作出二次函数y=x -2x-1的图象.
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，
另一个交点在2和3之间.
图1－16
新知讲解
通过观察或测量，
可得抛物线与x轴的交点是横坐标约为-0.4或2.4，
即一元二次方程 x -2x-1=0的实数根为
x1≈-0.4，x2≈2.4.
图1－16
新知讲解
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.
将二次函数y=x -2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：
x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
y 2 1.61 1.24 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 -0.79 -1
新知讲解
可以发现：当x=-0.5时，y=0.25＞0；
而当x=-0.4时，y=-0.04＜0.
结合图象可以看出：
使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，
即-0.5＜x＜-0.4.
新知讲解
题目只要求精确到0.1，
这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均符合题意。
但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，
故选x=-0.4。
同理，借助计算器，我们也可以确定方程 x -2x-1=0的另一个实数根为x=2.4.
如何利用二次函数求一元二次方程的实数根
①根据一元二次方程设对应的二次函数;
②画出这个二次函数的图象;
③找出二次函数的图象与与x轴的两个交点;
④通过观察或度量，估计交点的横坐标的数值，得出一元二次方程的根的估计值.
新知讲解
新知讲解
例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，
它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么
新知讲解
解：（1）由抛物线的表达式得
即 x2-6x+5=0，
解得 x1 = 1，x2 = 5.
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
新知讲解
（2）由抛物线的表达式得
即 x2-6x+9=0，
解得 x1=x2= 3.
当铅球离地面的高度为2.5 m时，
它离初始位置的水平距离是3m.
新知讲解
（3）由抛物线的表达式得
即 x2 -6x+14=0 ，
因为△=（- 6）2 - 4×1×14=-20<0，
所以方程无实数根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
新知讲解
从例2可以看出，
已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=M，
求对应的自变量的值时，
需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，
这样， 二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了.
课堂练习
1.若函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是 ( )
A. m>1 B. m<1 C. m≤1 D. m=1
解：令y=0，即：x2+2x+m=0，
Δ=b2-4ac=4-4m<0，
即：m>1，
故选A．
A
课堂练习
2.若二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与x轴的一个交点为(-1,0)，则代数式2a-2b-5的值为( )
A. -3 B. -4 C. -6 D. -7
D
课堂练习
解：∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)与x轴的一个交点为(-1,0)，
∴x=-1时，a-b+1=0，
∴a-b=-1，
∴2a-2b-5=2(a-b)-5=-2-5=-7，
故选：D．
课堂练习
3.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是( )
A. 6C. 6.18x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04
C
课堂练习
解：观察表格可知：当x=6.18时，y=-0.01；当x=6.19时，y=0.02，
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是6.18故选：C．
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2+bx+c＝0的根
b2-4ac
有两个不同的交点
有两个不相等的实根
有两个重合的交点
有两个相等的实根
没有交点
没有实数根
＞0
=0
＜0
课堂总结
板书设计
1.4二次函数与一元二次方程的联系
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系
2.利用图像法求一元二次方程的根的近似值
3.解一元二次方程ax2+bx+c=M，求自变量的值
作业布置
必做题:课本第28页练习的1,2题
选做题:练习册本课时的习题
谢谢
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