【原创精品】人教版数学九年级下册 27.2.1.3 《相似三角形的判定3》课件 (共26张PPT)

(共26张PPT)
27.2.1.3 相似三角形的判定3
人教版九年级下册
第二十七章 相似
1、探究有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，并会运用.
2、灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似.
3、在推理过程中学会灵活使用数学方法.
重点：相似三角形判定方法2的推导过程，掌握判定方法2并能灵活运用.
难点：判定方法的推导及运用.
学习目标
重点难点
1. 两个三角形全等有哪些判定方法？
2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）;
(2)平行于三角形一边的直线;
(3)三边对应成比例.
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.
等于k
∠B =∠B'
∠C =∠C'
改变k的值具有相同的结论
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A‘B’C‘，使∠A＝∠A‘， 量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
知识点
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
A'
B'
C'
A
B
C
∠A＝∠A'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．
△ABC ∽ △A'B'C'
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A’B’，
AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
∴ DE//BC
∴ △ADE ∽ △ABC
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？
不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.
A
B
C
A′
B′
B″
C′
归纳总结
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
∵
又 ∠A＝∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，并说明理由.
例1
素养考点 1
利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似
两三角形的相似比是多少？
△ABC∽△A'B'C ' .
理由如下：
解：
∴
已知:∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A‘ =40°，A’B‘ =16，A’C‘ =30 ，
判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
解：
∴△ABC∽△A'B'C'.
△ABC∽△A'B'C' .
理由如下：
∴ .
∠A=∠A',
又∵
∵ , ,
解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
C
B
E
D
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
∴
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
素养考点 2
利用三角形相似求线段的长度
【解析】解题时要找准对应边.
A
B
C
D
解：（1）CD :CB＝BC :AC .
（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．
当△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,
有CD:CB＝BC:AC，即 ,
所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．
但x２＝－3不符合题意,应舍去．
所以CD＝1．
如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长．
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
A
B
C
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，
求证 ：∠ACB=90°．
∵
素养考点 3
利用三角形相似求角度
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE 与AB 垂直吗 为什么
A
B
C
D
E
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵　AE：AD＝AB：AC,
∴ 　 ．
又　∠A＝∠A,
∴　△ABC∽△AED．
∴　∠ADE＝∠C＝90°．
∴　DE 与AB 垂直．
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：
解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3.
∵
∴这两个三角形不相似.
你同意他的判断吗？请说明理由.
解：他的判断是错误的.
∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3.
∵ ， ，
∴ ．
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB ．
如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．
∴ ， ，
∴ ，
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
【解析】
AB2 = BD · BC
故选D
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，
EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
∴
3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
∴
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
4、如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6BC=4 AC=5， ， 求 AD 的长．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin