【原创精品】人教版数学九年级下册 27.2.1.4 《相似三角形的判定4》课件 (共28张PPT)

(共28张PPT)
27.2.1.4 相似三角形的判定4
人教版九年级下册
第二十七章 相似
1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
3、掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
重点：掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
难点：能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
学习目标
重点难点
1.相似多边形的性质：
2.相似多边形的判定：
对应角相等，对应边成比例.
在两个多边形中，如果他们对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似.
全等三角形的判定方法有：____，____，____，____，直角三角形除此之外再加____.
SSS SAS ASA AAS
HL
那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢 能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢
1. 相似三角形的概念
定义：根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形( simlar triangles ).
符号表示
如图，在 ABC和 A'B'C''中，
如果：∠A=____,∠B=____,∠C=____,
AB:A'B'= ____________= ____________.
那么 ABC∽ A'B'C'.
注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.
BC:BˊCˊ
∠Bˊ
∠Cˊ
AC：AˊCˊ
∠Aˊ
2. 相似三角形的判定方法
(1) 观察只有一个角相等的三角形相似吗？与同伴交流.
(2)与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于给定的∠α，∠B和∠B'都等于给定的∠β. 比较你们画的两个三角形，∠C和∠C'相等吗？对应边的比AB:A'B'、BC：B'C'、AC：A'C'相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α，∠β的大小，再试试.
(2)与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于给定的∠α，∠B和∠B'都等于给定的∠β. 比较你们画的两个三角形，∠C和∠C'相等吗？对应边的比AB:A'B'、BC：B'C'、AC：A'C'相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α，∠β的大小，再试试.
【定理】两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言：
如图，
在 ABC和 A'B'C'中，
∠A=∠A'
∠B=∠B'
∴ ABC∽ A'B'C'中，
利用两角分别相等判定两个三角形相似，关键在于找准对应角，一般的，公共角、对顶角同角（或等角）余角或补角都是对应角.解题要注意挖掘题中的隐含条件.
核心总结
1. 利用“有两角相等的两个三角形相似”证明和计算
例1 如图，已知AB//CD,AD 、BC相交于点E，点F为EC上一点，且∠EAF=∠C.
求证:AF =FE FB.
证明: ∵ AB//CD, ∴∠B=∠C.
又∵∠EAF=∠C,
∴∠EAF=∠B.
又∵∠AFE=∠BFA,
∴ AFE∽ BFA
∴EF：AF=AF：BF，
∴AF =FE FB.
(1)利用相似三角形证明等积式或比例式时,把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边,然后证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的结果.
(2)当两个三角形已经具备一个角对应相等的条件时,往往先找是否有另一个角相等，找角相等时应当注意挖据隐含的角,如公共角、对顶角、同角的余角(或补角)
等积与相似证明题总结
如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E.若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为( )
A.2/3 B.1/2 C.3/4 D.3/5
A
2. 直角三角形中常见的相似问题
例2 CD是Rt ABC斜边AB上的高.
⑴已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD的长.
⑵已知AB=25 cm，BC=15 cm，求BD的长.
解: ∵△ABC是直角三角形,CD是斜边AB上的高,
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°
∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°
∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,
∴△ABC∽△ACD∽△CBD.
(1) ∵△ACD∽△CBD
∴AD：CD=CD：BD，即9:6=6：BD
∴BD=4 cm
2. 直角三角形中常见的相似问题
例2 CD是Rt ABC斜边AB上的高.
⑴已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD的长.
⑵已知AB=25 cm，BC=15 cm，求BD的长.
解: ∵△ABC是直角三角形,CD是斜边AB上的高,
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°
∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°
∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,
∴△ABC∽△ACD∽△CBD.
(2) ∵△CBD∽△ABC,
BC：BA=BD：BC，即15:25=BD：15，
BD=9 cm
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似,可以归纳为”子母型”相似三角形,由于应用相当广泛,应重视这类常见的相似图形.
解题模型
如图,在正方形ABCD中,M为BC上点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为点F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长
(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°
∴AD∥BC
∠AMB=∠EAF
∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°,
∠B=∠AFE,△ABM∽△EFA
如图,在正方形ABCD中,M为BC上点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为点F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长
(2)解:∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴由勾股定理得AM=13,
∴AD=AB=12
∵F是AM的中点AF= AM=6.5
∵△ABM∽△EFA
∴BM：AF=AM：AE，即5：6.5=13：AE，
∴ AE=16.9.
∴ DE=AE-AD=4.9.
阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. 任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．
解： (1)如题图②，过点C作CE∥DA.交BA的延长线于点E，
∴BD:CD＝AB:AE，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2, ∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴AB:AC＝BD:CD.
阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. 任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．
解： (2) ∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5.
∵AD平分∠BAC，
∴AC：AB＝CD：BD，即5：3＝CD：BD，
∴BD＝3/8 BC＝3/2，
∴AD＝ BD ＋AB ＝（3/2） ＋3 ＝
∴△ABD的周长＝3/2＋3＋
1.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
B
2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
C
1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(　　)
A．一定不相似 B．不一定相似
C．一定相似 D．不能确定
2．下列说法中正确的是(　　)
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
C
C
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求DE:BC的值．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
则△ADE∽△ABC，
DE；BC＝AD：AB＝3：5
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
相似三角形的判定
定理
几何语言
两角分别对应相等的两个三角形相似。
∵ ∠A=∠D
∠B=∠E
∴ΔABC∽ΔDEF
谢谢
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