【精品原创】人教版数学九年级下册 27.2.3 《相似三角形的应用》教案
文档属性
| 名称 | 【精品原创】人教版数学九年级下册 27.2.3 《相似三角形的应用》教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 16:08:41 | ||
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文档简介
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人教版数学七年级下册
27.2.3 相似三角形的应用 教案
课题名 27.2.3 相似三角形的应用
教学目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
教学难点 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学准备 教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.学生准备：刻度尺、量角器、三角板.
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 师出示5页幻灯片展示5个情境。据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯 ( http: / / www.21cnjy.com )曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 观察幻灯片思考如何测量这些物体的高度或长度？虽然这些物体没有遮挡，但是实际测量起来很难度，怎么办呢？ 培养观察能力，并引入新课。
探究新知 探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 要测量金字塔的高度用尺子从塔尖到塔底很不现实，那么我们可以用学过的相似图形的性质来解决这一问题。 直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。培养学生数学学科素养，学会用数学语言表达证明步骤。归纳总结探究的结果。
方法提炼 测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
跟踪训练 【针对训练】1. 如图，要测量旗杆 ( http: / / www.21cnjy.com ) AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ） A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )第1题图 第2题图2. 如图，九年级某班数 ( http: / / www.21cnjy.com )学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米．
拓展探究 还可以有其他测量方法吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法提炼 测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
跟踪训练 如图是小明设计用手电来测量 ( http: / / www.21cnjy.com )某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ B ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
典例剖析 探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 如图，为了估算河的宽度， ( http: / / www.21cnjy.com )我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离 AB． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法提炼 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
拓展探究 探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )【分析】如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH ( http: / / www.21cnjy.com )是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
链接中考 (中考·吉林)在某一时刻,测得一根 ( http: / / www.21cnjy.com )高为 1.8 m 的竹竺的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m.则这栋楼的高度为 54 m.(中考·贺州)如图,在AABC 中,D ( http: / / www.21cnjy.com ),E 分别是 AB,AC边上的点,DE//BC,若 AD =2.AB =3,DE =4.则 BC等于（ B ） A.5 B.6 C.7 D.8
随堂检测 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得 ( http: / / www.21cnjy.com )他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m3. 如图，有点光源 S ( http: / / www.21cnjy.com ) 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA为 . ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )第3题图 第4题图4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.5. 如图，某校数学兴趣小组利用 ( http: / / www.21cnjy.com )自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. ( http: / / www.21cnjy.com / )
课堂小结 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学反思 这节课学生在富有故事性和现实性的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学情形问题中学会运用四个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，进展学生的抽象概括能力。在教学中突出了审题---画示意图---明确数量关系---解决问题的数学建模过程培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。测量某些不能直截了当度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，能够使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，进展学生的应用意识，加深学生关于相似三角形的明白得和认识。一节课上下来差不多达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题。
随堂检测答案
1. A 2. A 3. 12cm 4. 20.
5. 解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴，解得：AC = 10，故AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米).
答：旗杆的高度为 11.5 米.
5 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m.
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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27.2.3 相似三角形的应用 教案
课题名 27.2.3 相似三角形的应用
教学目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
教学难点 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
教学准备 教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.学生准备：刻度尺、量角器、三角板.
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 师出示5页幻灯片展示5个情境。据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯 ( http: / / www.21cnjy.com )曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 观察幻灯片思考如何测量这些物体的高度或长度？虽然这些物体没有遮挡，但是实际测量起来很难度，怎么办呢？ 培养观察能力，并引入新课。
探究新知 探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 要测量金字塔的高度用尺子从塔尖到塔底很不现实，那么我们可以用学过的相似图形的性质来解决这一问题。 直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。培养学生数学学科素养，学会用数学语言表达证明步骤。归纳总结探究的结果。
方法提炼 测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
跟踪训练 【针对训练】1. 如图，要测量旗杆 ( http: / / www.21cnjy.com ) AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ） A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )第1题图 第2题图2. 如图，九年级某班数 ( http: / / www.21cnjy.com )学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米．
拓展探究 还可以有其他测量方法吗？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法提炼 测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
跟踪训练 如图是小明设计用手电来测量 ( http: / / www.21cnjy.com )某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ B ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
典例剖析 探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度 ( http: / / www.21cnjy.com )，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 如图，为了估算河的宽度， ( http: / / www.21cnjy.com )我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时如果测得 BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离 AB． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法提炼 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
拓展探究 探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )【分析】如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH ( http: / / www.21cnjy.com )是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
链接中考 (中考·吉林)在某一时刻,测得一根 ( http: / / www.21cnjy.com )高为 1.8 m 的竹竺的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m.则这栋楼的高度为 54 m.(中考·贺州)如图,在AABC 中,D ( http: / / www.21cnjy.com ),E 分别是 AB,AC边上的点,DE//BC,若 AD =2.AB =3,DE =4.则 BC等于（ B ） A.5 B.6 C.7 D.8
随堂检测 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( )A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得 ( http: / / www.21cnjy.com )他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m3. 如图，有点光源 S ( http: / / www.21cnjy.com ) 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA为 . ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )第3题图 第4题图4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.5. 如图，某校数学兴趣小组利用 ( http: / / www.21cnjy.com )自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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教学反思 这节课学生在富有故事性和现实性的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学情形问题中学会运用四个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，进展学生的抽象概括能力。在教学中突出了审题---画示意图---明确数量关系---解决问题的数学建模过程培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。测量某些不能直截了当度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，能够使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，进展学生的应用意识，加深学生关于相似三角形的明白得和认识。一节课上下来差不多达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题。
随堂检测答案
1. A 2. A 3. 12cm 4. 20.
5. 解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴，解得：AC = 10，故AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米).
答：旗杆的高度为 11.5 米.
5 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m.
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
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