【精品原创】人教版数学九年级下册 27.2.1.4 《相似三角形的判定4》教案
文档属性
| 名称 | 【精品原创】人教版数学九年级下册 27.2.1.4 《相似三角形的判定4》教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-31 16:08:41 | ||
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文档简介
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人教版数学七年级下册
27.2.1.4 相似三角形的判定4 教案
课题名 27.2.1.4 相似三角形的判定4
教学目标 1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.3、掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
教学重点 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法
教学难点 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题
教学准备 教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.学生准备：刻度尺、量角器、三角板.
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 引导学生知识回顾师：利用课件创设情景引入探究活动。 学生看课件填空 ：1.相似多边形的性质：____________________________________________________.2.相似多边形的判定：______________________________________________________.全等三角形的判定方法有：____，____，____，____，直角三角形除此之外再加____.那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢 能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢 复习，为闲适探究降低难度。并引入新课。
探究新知 1. 相似三角形的概念定义：根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形( simlar triangles ).符号表示如图，在 ABC和 A'B'C'中，如果：∠A=____,∠B=____,∠C=____, AB:A'B'= ____________= ____________.那么 ABC∽ A'B'C'.注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.2. 相似三角形的判定方法(1)画一个△ABC，使得∠BAC=60°.与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？(2)与同伴合作，一人画△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，另一人画△A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于给定的∠α，∠B和∠B'都等于给定的∠β. 比较你们画的两个三角形，∠C和∠C'相等吗？对应边的比AB:A'B'、BC：B'C'、AC：A'C'相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试试. ( http: / / www.21cnjy.com / )【定理】两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：如图， 在 ABC和 A'B'C'中，∠A=∠A'∠B=∠B'∴ ABC∽ A'B'C'中， 明确探究范围，强调“函数”。直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。培养学生数学学科素养，学会用数学语言表达证明步骤。归纳总结探究的结果。
方法提炼 利用两角分别相等判定两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形相似，关键在于找准对应角，一般的，公共角、对顶角同角（或等角）余角或补角都是对应角.解题要注意挖掘题中的隐含条件.
典例剖析 1. 利用“有两角相等的两个三角形相似”证明和计算例1 如图，已知AB//CD,AD 、BC相交于点E，点F为EC上一点，且∠EAF=∠C. 求证:AF =FE FB.证明: ∵ AB//CD, ∴∠B=∠C.又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B.又∵∠AFE=∠BFA,∴ AFE∽ BFA∴EF：AF=AF：BF，∴AF =FE FB.
方法提炼 (1)利用相似三角形证明等积式或比例 ( http: / / www.21cnjy.com )式时,把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边,然后证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的结果.(2)当两个三角形已经具备一个角对应相等的条件时,往往先找是否有另一个角相等，找角相等时应当注意挖据隐含的角,如公共角、对顶角、同角的余角(或补角)
跟踪训练 如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E.若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为( A )A.2/3 B.1/2 C.3/4 D.3/5 ( http: / / www.21cnjy.com / )
典例剖析 2.直角三角形中常见的相似问题例2 CD是Rt ABC斜边AB上的高.⑴已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD的长.⑵已知AB=25 cm，BC=15 cm，求BD的长.解: ∵△ABC是直角三角形,CD是斜边AB上的高,∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD∽△CBD.(1) ∵△ACD∽△CBD∴AD：CD=CD：BD，即9:6=6：BD∴BD=4 cm
方法提炼 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似,可以归纳为”子母型”相似三角形,由于应用相当广泛,应重视这类常见的相似图形.
跟踪训练 如图,在正方形ABCD中,M为BC上点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为点F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°∴AD∥BC∠AMB=∠EAF∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°,∠B=∠AFE,△ABM∽△EFA(2)解:∠B=90°,AB=12,BM=5,∴由勾股定理得AM=13,∴AD=AB=12∵F是AM的中点AF= AM=6.5∵△ABM∽△EFA∴BM：AF=AM：AE，即5：6.5=13：AE，∴ AE=16.9.∴ DE=AE-AD=4.9.
拓展探究 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________． ( http: / / www.21cnjy.com / )分析： (1)如题图②，过点C作C ( http: / / www.21cnjy.com )E∥DA.交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例得到BD:CD＝AB:AE，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，则AE＝AC，于是有AB:AC＝BD:CD；(2)先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用(1)中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD＝，然后利用勾股定理计算出AD＝，从而可得到△ABD的周长 解： (1)如题图②，过点C作CE∥DA.交BA的延长线于点E，∴BD:CD＝AB:AE，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2, ∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴AB:AC＝BD:CD.(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．解： (2) ∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5.∵AD平分∠BAC，∴AC：AB＝CD：BD，即5：3＝CD：BD，∴BD＝3/8 BC＝3/2，∴AD＝ BD ＋AB ＝（3/2） ＋3 ＝∴△ABD的周长＝3/2＋3＋
链接中考 1.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ B ） A．2 B．4 C．6 D．8 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从 ( http: / / www.21cnjy.com )水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ C ）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m ( http: / / www.21cnjy.com / )
随堂检测 1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( C )A．一定不相似 B．不一定相似C．一定相似 D．不能确定 2．下列说法中正确的是( C )A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求DE:BC的值． 解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC， DE；BC＝AD：AB＝3：5 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
课堂小结 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学反思 本节课注重学生的探究活动，把 ( http: / / www.21cnjy.com )科学探究的学习和科学内容的学习放到同等地位.要有效地组织学生进行科学探究，以达到教学目的.而这个教学环节对能否真正达到新课程的教学目标是极为重要的.所以在引导和提问时，要注意问题的目的性和语言的技巧性；对于学生的看法和观点，要多使用鼓励性的语言，增强学生的自信心.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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27.2.1.4 相似三角形的判定4 教案
课题名 27.2.1.4 相似三角形的判定4
教学目标 1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.3、掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
教学重点 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法
教学难点 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题
教学准备 教师准备：PPT、刻度尺、量角器、三角板.学生准备：刻度尺、量角器、三角板.
教学过程
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
新课导入 引导学生知识回顾师：利用课件创设情景引入探究活动。 学生看课件填空 ：1.相似多边形的性质：____________________________________________________.2.相似多边形的判定：______________________________________________________.全等三角形的判定方法有：____，____，____，____，直角三角形除此之外再加____.那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢 能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢 复习，为闲适探究降低难度。并引入新课。
探究新知 1. 相似三角形的概念定义：根据相似多边形的定义，三个角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形( simlar triangles ).符号表示如图，在 ABC和 A'B'C'中，如果：∠A=____,∠B=____,∠C=____, AB:A'B'= ____________= ____________.那么 ABC∽ A'B'C'.注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.2. 相似三角形的判定方法(1)画一个△ABC，使得∠BAC=60°.与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？(2)与同伴合作，一人画△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，另一人画△A'B'C'，使得∠A和∠A'都等于给定的∠α，∠B和∠B'都等于给定的∠β. 比较你们画的两个三角形，∠C和∠C'相等吗？对应边的比AB:A'B'、BC：B'C'、AC：A'C'相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试试. ( http: / / www.21cnjy.com / )【定理】两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：如图， 在 ABC和 A'B'C'中，∠A=∠A'∠B=∠B'∴ ABC∽ A'B'C'中， 明确探究范围，强调“函数”。直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。培养学生数学学科素养，学会用数学语言表达证明步骤。归纳总结探究的结果。
方法提炼 利用两角分别相等判定两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形相似，关键在于找准对应角，一般的，公共角、对顶角同角（或等角）余角或补角都是对应角.解题要注意挖掘题中的隐含条件.
典例剖析 1. 利用“有两角相等的两个三角形相似”证明和计算例1 如图，已知AB//CD,AD 、BC相交于点E，点F为EC上一点，且∠EAF=∠C. 求证:AF =FE FB.证明: ∵ AB//CD, ∴∠B=∠C.又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B.又∵∠AFE=∠BFA,∴ AFE∽ BFA∴EF：AF=AF：BF，∴AF =FE FB.
方法提炼 (1)利用相似三角形证明等积式或比例 ( http: / / www.21cnjy.com )式时,把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边,然后证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的结果.(2)当两个三角形已经具备一个角对应相等的条件时,往往先找是否有另一个角相等，找角相等时应当注意挖据隐含的角,如公共角、对顶角、同角的余角(或补角)
跟踪训练 如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB、AC相交于点D、E.若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为( A )A.2/3 B.1/2 C.3/4 D.3/5 ( http: / / www.21cnjy.com / )
典例剖析 2.直角三角形中常见的相似问题例2 CD是Rt ABC斜边AB上的高.⑴已知AD=9 cm，CD=6 cm，求BD的长.⑵已知AB=25 cm，BC=15 cm，求BD的长.解: ∵△ABC是直角三角形,CD是斜边AB上的高,∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD∽△CBD.(1) ∵△ACD∽△CBD∴AD：CD=CD：BD，即9:6=6：BD∴BD=4 cm
方法提炼 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似,可以归纳为”子母型”相似三角形,由于应用相当广泛,应重视这类常见的相似图形.
跟踪训练 如图,在正方形ABCD中,M为BC上点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为点F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长(1)证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°∴AD∥BC∠AMB=∠EAF∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°,∠B=∠AFE,△ABM∽△EFA(2)解:∠B=90°,AB=12,BM=5,∴由勾股定理得AM=13,∴AD=AB=12∵F是AM的中点AF= AM=6.5∵△ABM∽△EFA∴BM：AF=AM：AE，即5：6.5=13：AE，∴ AE=16.9.∴ DE=AE-AD=4.9.
拓展探究 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB:AC＝BD:CD.下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________． ( http: / / www.21cnjy.com / )分析： (1)如题图②，过点C作C ( http: / / www.21cnjy.com )E∥DA.交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例得到BD:CD＝AB:AE，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，则AE＝AC，于是有AB:AC＝BD:CD；(2)先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用(1)中的结论得到＝，即＝，则可计算出BD＝，然后利用勾股定理计算出AD＝，从而可得到△ABD的周长 解： (1)如题图②，过点C作CE∥DA.交BA的延长线于点E，∴BD:CD＝AB:AE，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2, ∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴AB:AC＝BD:CD.(2)填空：如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是________．解： (2) ∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5.∵AD平分∠BAC，∴AC：AB＝CD：BD，即5：3＝CD：BD，∴BD＝3/8 BC＝3/2，∴AD＝ BD ＋AB ＝（3/2） ＋3 ＝∴△ABD的周长＝3/2＋3＋
链接中考 1.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ B ） A．2 B．4 C．6 D．8 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从 ( http: / / www.21cnjy.com )水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ C ）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m ( http: / / www.21cnjy.com / )
随堂检测 1．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( C )A．一定不相似 B．不一定相似C．一定相似 D．不能确定 2．下列说法中正确的是( C )A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求DE:BC的值． 解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC， DE；BC＝AD：AB＝3：5 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
课堂小结 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学反思 本节课注重学生的探究活动，把 ( http: / / www.21cnjy.com )科学探究的学习和科学内容的学习放到同等地位.要有效地组织学生进行科学探究，以达到教学目的.而这个教学环节对能否真正达到新课程的教学目标是极为重要的.所以在引导和提问时，要注意问题的目的性和语言的技巧性；对于学生的看法和观点，要多使用鼓励性的语言，增强学生的自信心.
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