第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
基础过关
函数的零点与方程的根
1.已知函数f(x)的图象是连续的,且f(x)=x2+bx+c,b、c∈R,则“c<0”是“函数f(x)有零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点为 .
3.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=-x2-4x-4;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=4x+5;
(4)f(x)=log3(x+1);
(5)f(x)=
函数零点(方程的根)所在的区间
4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
5.函数f(x)=-log2x的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+∞)
6.若函数f(x)=2x-x2(x<0)的零点为x0,且x0∈(a,a+1),a∈Z,则a的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
确定函数的零点个数
7.已知符号函数sgn x=则函数f(x)=sgn(ln x)-ln x的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数f(x)=3x-log2(-x)有 个零点.
9.函数f(x)=log2(x-x2+2)的零点个数为 .
10.已知0
11.已知函数f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+1,a∈R.证明:函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.
根据零点(方程根)情况求参数值或范围
12.设f(x)=若f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.0C.013.(多选)若关于x的方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,则实数a的值可能是( )
A. B. C. D.
14.已知关于x的方程3x2-(m+2)x-m+3=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=ax3+2ax+3a-4在区间(-1,1)上只有一个零点,求实数a的取值范围.
答案全解全析
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
基础过关
1.A 若c<0,则Δ=b2-4c>0,此时函数f(x)有零点,则“c<0” “函数f(x)有零点”;
若c>0,取b=2,c=1,则f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,此时函数f(x)有零点,则“函数f(x)有零点” /“c<0”.故“c<0”是“函数f(x)有零点”的充分不必要条件.
2.答案 2
解析 函数f(x)=log2(x2-4x+5)的零点即为方程log2(x2-4x+5)=0的根,即方程x2-4x+5=1的根,解得x1=x2=2,故函数的零点为2.
3.解析 (1)令-x2-4x-4=0,解得x1=x2=-2,所以函数f(x)存在零点,且零点为-2.
(2)令=0,解得x=1,
所以函数f(x)存在零点,且零点为1.
(3)令4x+5=0,显然方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点.
(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,
所以函数f(x)存在零点,且零点为0.
(5)当x≤1时,令2x-2=0,解得x=1;
当x>1时,令2+log2x=0,解得x=(舍去),所以函数f(x)存在零点,且零点为1.
4.B 因为f(-1)=<0, f(0)=1>0,且函数f(x)在R上单调递增,其图象在[-1,0]上是不间断的,所以函数f(x)的零点在区间(-1,0)上.
5.C 因为f(3)=2-log23>0,f(4)=<0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,其在区间[3,4]上的图象是不间断的,所以函数f(x)的零点所在的区间为(3,4).
6.C 当x<0时,f(-1)=2-1-<0,所以x0∈(-3,-2),所以a=-3.故选C.
7.C 当ln x>0,
即x>1时,f(x)=1-ln x,存在零点,零点为e;当ln x=0,即x=1时,f(x)=0,即1是f(x)的零点;当ln x<0,即0故函数f(x)有3个零点.
8.答案 1
解析 因为f(-1)=<0,且函数f(x)在定义域为增函数,其在区间[-2,-1]上的图象是不间断的,
所以函数f(x)有且仅有1个零点.
9.答案 2
解析 令x-x2+2=1,
即x2-x-1=0,因为Δ=1+4=5>0,
所以方程有两个实数根,所以函数f(x)有2个零点.
10.答案 2
解析 求函数f(x)=ax-|logax|(0画出函数y=ax(0由图象可知有2个交点,
故011.证明 H(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-1.
因为Δ=4a2-12(a-1)=4(a2-3a+3)=4>0,且H(x)在R上的图象是不间断的,
所以函数H(x)=f(x)-g(x)恒有两个不同的零点.
12.C 由题意,函数f(x)的大致图象如下:
f(x)-a=0有三个不同的实数根等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点,由图可知,013.BCD 在方程ax2-|x|+a=0中,当a=0时,方程只有一个解x=0,
∵方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,∴a≠0,x≠0,
∴方程可变为.
方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解等价于函数y=|x|+的图象和y=有4个不同的交点.
作出函数y=|x|+和y=的大致图象,如图所示,
易知函数y=|x|+的最小值为2,因此当>2,即0直线y=与函数y=|x|+的图象有4个不同的交点,
即原方程有4个不同的实数解,
所以满足要求的有B、C、D.故选BCD.
14.答案 (2,3)
解析 设函数f(x)=3x2-(m+2)x-m+3,
因为函数f(x)的一个零点在区间(0,1)上,另一个零点在区间(1,2)上,
又因为该函数图象开口向上,所以即解得2故实数m的取值范围是(2,3).
15.解析 若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,
所以a≠0.由题意可知f(x)在(-1,1)上是单调函数,且其在区间[-1,1]上的图象是不间断的,所以f(-1)·f(1)=-4×(6a-4)<0,解得a>,
故实数a的取值范围为.
2 / 9第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
能力提升
函数零点(方程的根)的个数及应用
1.已知函数f(x)在定义域(-∞,0),(0,+∞)上的图象是不间断的,若f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数, f(2)=0,则函数f(x)的零点( )
A.有一个 B.有两个
C.至少有两个 D.无法判断
2.已知函数f(x)=|1-|x-1||,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)=0(a∈R)有n个不同的实数根,则n的值不可能是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.(多选)已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,则实数a的值为( )
A.-1 B.1 C. D.0
4.已知定义在R上的偶函数y=f(x)的图象是不间断的,当x≥0时, f(x)=lg(x2+3x+2),则函数f(x)在R上的零点个数为 .
根据零点(方程根)情况求参数范围
5.已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)=若f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.∪ D.
6.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间上恰有一个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B.[3,+∞)
C.[2,3] D.[2,3)
7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-2m+1在区间[-2,4]内有3个零点,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数f(x)=若函数g(x)=2f(x)-mx恰有2个不同的零点,则实数m的取值范围是 .
9.若关于x的函数f(x)=x2+(m-2)x+2m-1在区间(0,1)内有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=lo为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)设h(x)=,证明:函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数;
(3)若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间[3,4]上没有零点,求实数m的取值范围.
11.已知函数f(x)=其中m>1,且f.
(1)求实数m的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-a有两个不同的零点x1,x2(x1答案全解全析
第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
能力提升
1.B 因为f(x)在(0,+∞)上的图象是不间断的,且是减函数, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点,为2.
又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点,为-2,
所以函数f(x)在定义域内有两个零点.
2.A 令[f(x)]2+af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=-a,作出函数f(x)的大致图象如图所示,
由图象可知方程f(x)=0的实数根的个数是2,方程f(x)=-a的实数根的个数可能是0、2、3、4,所以n的值可能是2、4、5、6,不可能是3,故选A.
3.BC ∵集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=
0}中有且仅有一个元素,
∴方程(a2-1)x2+(a+1)x+1=0有且只有一个实数根或有两个相等的实数根.
当a2-1=0,a+1≠0,即a=1时,满足题意;当a2-1=0,a+1=0,即a=-1时,不满足题意,舍去;
当a2-1≠0,即a≠±1时,需满足Δ=(a+1)2-4×(a2-1)=0,
解得a=-1(舍去)或a=.∴a=1或a=.故选BC.
4.答案 0
解析 由题意知,当x≥0时, f(x)=lg(x2+3x+2),
令lg(x2+3x+2)=0,即x2+3x+2=1,解得x=(舍去).
因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数且其图象是不间断的,所以函数f(x)在R上的零点个数为0.
5.A 令g(x)=f(x)+f(-x),
则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
又g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
∴g(x)为偶函数.
若x>0,则-x<0,
所以g(x)=f(x)+f(-x)=x2+2ax-x+1=x2+(2a-1)x+1.
方程f(x)+f(-x)=0在定义域上有两个不同的实数解等价于g(x)=x2+(2a-1)x+1在x>0时有两个零点,
则解得a<-.
6.D 由题意得,函数f(x)在区间上有零点的充分条件为f(0)f≤0,即(1-loga2)(1-loga3)≤0,
则或
解得2≤a≤3.
当a=3时,f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),
显然函数f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且f=1-1=0, f(0)=1-log32>0,
f-log37<0,
所以函数f(x)在上有两个零点,不符合题意,
故实数a的取值范围为[2,3),
故选D.
7.D 当x∈[-2,-1]时,f(x)=x+2;当x∈(-1,0]时,f(x)=-x;当0当1当2当3作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示.
函数g(x)=f(x)-x-2m+1在区间[-2,4]内有3个零点,
即函数y=f(x)的图象与y=x+2m-1的图象在区间[-2,4]内有3个不同的交点.由图象可得1-2m=-1或0<1-2m<2,
解得m=1或-.故选D.
8.答案 (-2,2)∪
解析 若x=0,则g(0)=0,故x=0是函数g(x)的一个零点.
若x≠0,则令g(x)=0,得当=1,
即m=2时,显然g(x)有无穷多个零点,故m≠2;
当=x2-5时,有x令h(x)=x2-5-,x观察h(x)的图象,当x故h(m)=m2-5-≤0,
解得-2≤m≤,
当m=-2时,令h(x)=0,
则有x2-5+1=0,解得x=±2,不符合题意,
故-2综上,m∈(-2,2)∪.
9.答案 解析 函数f(x)=x2+(m-2)x+2m-1在区间(0,1)内有且仅有一个零点等价于方程f(x)=0在(0,1)内有且仅有1个实数根.
当Δ=0,即(m-2)2-4(2m-1)=0时,解得m=6±2,
若m=6+2,方程f(x)=0的根为x1=x2= (0,1),不符合题意,舍去;
若m=6-2,方程f(x)=0的根为x1=x2=-2∈(0,1),符合题意.
当Δ>0,即(m-2)2-4(2m-1)>0时,解得m<6-2或m>6+2,
由题意可得f(0)f(1)<0,
即(2m-1)(1+m-2+2m-1)<0,
解得,
当f(0)=0时,m=,此时方程的另一根为x= (0,1),不符合题意,舍去;
当f(1)=0时,m=,此时方程的另一根为x=∈(0,1),符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是10.解析 (1)因为函数f(x)=lo为奇函数,所以f(x)+f(-x)=lo =0,
即lo=0,
所以=1,
所以k2=1,
解得k=-1(当k=1时,函数无意义,舍去).故实数k的值为-1.
(2)由(1)知h(x)=,
证明:任取x1,x2∈(2,+∞),
且x1则h(x1)-h(x2)=>0,即h(x1)>h(x2),
所以函数y=h(x)在(2,+∞)上是减函数.
(3)由(1)知g(x)=lo+2x+m,因为g(x)在区间[3,4]上单调递增,且在区间[3,4]上的图象是不间断的,又g(x)在区间[3,4]上没有零点,
所以g(3)>0或g(4)<0,即lo+23+m>0或lo+24+m<0,解得m>log35-8或m<-15.
故实数m的取值范围为(-∞,-15)∪(log35-8,+∞).
11.解析 (1)f.
∵m>1,
∴>1,
∴0<<1,
∴f>0,
∴f,解得m=4.故实数m的值为4.
(2)由题意知,f(0)=0=1-40,所以函数f(x)在R上的图象是不间断的,
且f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
所以x1<0所以x1=log4(1-a),
所以x1+log4x2=log4(1-a)+log4a=log4[(1-a)a].
因为a∈,
所以(1-a)a=-a2+a=-∈,
所以log4[(1-a)a]∈,
即x1+log4x2的取值范围是.
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