2022-2023学年安徽省亳州市涡阳县高炉学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年安徽省亳州市涡阳县高炉学校九年级（上）第一次月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
点在反比例函数的图象上，则的值是( )
A. B. C. D.
二次函数图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
二次函数图象如图所示．当时，自变量的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
根据表格中代数式与的对应值，判断方程其中，，是常数，且的一个根的大致范围是( )
A. B.
C. D.
若将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
关于的二次函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
如图，点和点分别是反比例函数和的图象上的点，轴，点为轴上一点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；，；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
抛物线的对称轴是______．
某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线单位：米的一部分，则水喷出的最大高度是______米．
对于反比例函数，下列说法：点在它的图象上；它的图象在第一、三象限；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．上述说法中，正确的序号是______ 填上所有你认为正确的序号
已知二次函数与一次函数图象交于，两点，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
二次函数的图象过点、，与轴交于点，求二次函数的表达式．
本小题分
已知二次函数图象的顶点为，并经过点，求该二次函数的解析式．
本小题分
已知，在对物体做功一定的情况下，力牛与此物体在力的方向上移动的距离米成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到牛时，此物体在力的方向上移动的距离是多少米？
本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点．
求反比例函数的解析式；
求不等式的解集．
本小题分
二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程的两个根；
写出不等式的解集；
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求点和点的坐标；
判断的形状，证明你的结论．
本小题分
实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，小时内其血液中酒精含量毫克百毫升与时间时成正比例；小时后包括小时与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
写出一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上：在家喝完半斤低度白酒，第二天早上：能否驾车去上班？请说明理由．
本小题分
在年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩经市场调研：某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋．
直接写出小明销售该类型口罩销售量袋与销售单价元之间的函数关系式______ ；每天所得销售利润元与销售单价元之间的函数关系式______ ．
若小明想每天获得该类型口罩的销售利润元时，则销售单价应定为多少元？
若每天销售量不少于袋，且每袋口罩的销售利润至少为元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
本小题分
如果二次函数是常数与是常数满足，，，称这两个函数互为“系数相关函数”．
函数的“系数相关函数”为______；
若函数与互“系数相关函数”，求的值；
证明方程的实数解不是方程的实数解．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不是二次函数，故本选项错误；
B、，不是二次函数，故本选项错误；
C、，不是二次函数，故本选项错误；
D、，是二次函数，故本选项正确；
故选：．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
本题考查了二次函数的定义，解答本题关键是判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，其次判断二次项系数不能为．
2.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
故选：．
把点的坐标代入函数解析式，即可求出．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，能得出关于的方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、时的函数值都是，
函数图象的对称轴为直线，
顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数的对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
图象在轴下方
自变量的取值范围：
故选：．
直接可由二次函数图象可解得．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练运用二次函数性质解决问题是本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：当时，；当时，，
当在的范围内取某一值时，对应的函数值为，即，
方程其中，，是常数，且的一个根的大致范围为．
故选：．
观察表中数据得到当时，；当时，，则可判断当在的范围内取某一值时，对应的函数值为，即，所以可确定方程的一个根的大致范围为．
本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换．
先确定抛物线的顶点坐标为，利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：关于的二次函数与轴有两个不同的交点，
关于的一元二次方程有两个不同的解，
，且，
解得：且．
故选：．
函数与轴的交点横坐标就是令时的一元二次方程的解，可以用解题．
本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与轴的交点横坐标就是时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为，这是同学们解题时容易忽略的点．
9.【答案】
【解析】解：连接，，
轴，
，
点和点分别是反比例函数和的图象上的点，
，，
，
，
故选：．
连接，，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解．
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
．
，
的结论不正确；
抛物线与轴交于点，
，
，
的结论不正确；
由抛物线的对称性可知：抛物线与轴的交点为和，
当时，，
，
的结论正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，函数有最大值．
，，
，
的结论正确；
，，
，
．
，
．
的结论不正确，
综上，，
故选：．
利用函数图像的信息得到，，的符号与，，的的关系式，利用二次函数的性质和不等式的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】直线
【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线．
故答案为：直线．
本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点式中，顶点坐标是，对称轴是直线，利用配方法将交点式化为顶点式是解答本题的关键．
将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点纵坐标，
，
顶点坐标为，
水喷出的最大高度是米．
故答案为：．
水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点纵坐标，将写成顶点式即可得出顶点坐标，从而求得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将实际问题与数学模型联系起来是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：时，．
点在它的图象上，对；
又，
都对，
不对．
反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．根据这个性质判定则可．
本题考查了反比例函数图象的性质．
14.【答案】
【解析】解：根据二次函数与一次函数，
可得函数图象大概如下：
根据题意得出当时，则，
二次函数与一次函数图象交于，两点，
则从图象看，关于的不等式的解集为，
故答案为．
根据题意得出当时，则，进而结合函数图象得出的取值范围．
本题主要考查二次函数与不等式．
15.【答案】解：把、，都代入中，得
，
解得，
二次函数的解析式为：．
【解析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出、、的值，进而得解析式．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，熟记待定系数法是解题的关键．
16.【答案】解：根据题意，可设二次函数的解析式为：，
该二次函数的图象经过点，
，解得，
该函数的解析式为：或．
【解析】根据题意，可设二次函数的解析式为顶点式解析式：，然后将点的坐标代入求解即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17.【答案】解：根据力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
设函数关系式为：，
点是反比例函数图象上的点，
，
此函数的解析式为，把代入函数关系式得：
，
解得：，
答：此物体在力的方向上移动的距离是．
【解析】直接利用反比例函数解析式求法得出的值，进而把代入得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
18.【答案】解：点在直线上，
，
即点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，
，
观察图象可知，不等式的解集为或．
【解析】根据点在上，可以求得点的坐标，再根据待定系数法即可求得的值；
由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点、关于原点成中心对称，然后根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：函数图象与轴的两个交点坐标为，，
方程的两个根为，；
由图可知，不等式的解集为；
二次函数的顶点坐标为，
若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．
【解析】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
根据函数图象，二次函数图象与轴的交点的横坐标即为方程的根；
根据函数图象写出轴上方部分的的取值范围即可；
能与函数图象有两个交点的所有值即为所求的范围．
20.【答案】解：把代入，
，
解得：或，
则点的坐标，点的坐标．
是直角三角形，理由如下：
把代入，
，
则点的坐标为，
，．
，
，
，
，
，
是直角三角形．
答：是直角三角形．
【解析】利用轴上的点，把代入抛物线解析式求出的值即可；
利用勾股定理可以求出，，的长，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
本题主要考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，如何求与轴，轴的交点．
21.【答案】解：由题意可得：当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
综上所述：与之间的两个函数关系式为：；
第二天早上：能驾车去上班．
理由：晚上：到第二天早上：，有小时，
时，，
第二天早上：能驾车去上班．
【解析】直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
根据题意得出时的值进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出两函数解析式是解题关键．
22.【答案】
【解析】解：根据题意得，；
则，
故答案为：；；
，
，
解得：，，
答：销售单价应定为元或元，小明每天获得该类型口罩的销售利润元；
根据题意得，，
的取值范围为：，
函数，对称轴为，
当时，．
答：销售单价定位元时，此时利润最大，最大利润是元．
根据“某类型口罩进价每袋为元，当售价为每袋元时，销售量为袋，若销售单价每提高元，销售量就会减少袋”，即可得出关于的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
代入求出的值，由此即可得出结论；
利用配方法将关于的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法．
23.【答案】
【解析】解：，，，
函数的“系数相关函数”为，
故答案为：；
解：根据题意，，
解得，，
；
证明：设方程存在一实数解也是方程的实数解，
则，，
将两式相加，得：，
，，，
必有解，
而，无实数解，这与必有解矛盾，
方程的实数解不是方程的实数解．
由“系数相关函数”定义直接可得答案；
求出，的值，再代入即可得到答案；
设方程存在一实数解也是方程的实数解，可得，即必有解，而，即可证明结论．
本题考查二次函数性质及抛物线与轴交点坐标，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“系数相关函数”的意义．
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