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贵州省毕节市金沙县2023届高三上学期理数期中教学质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·金沙期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·金沙期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
3．（2022高三上·金沙期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·金沙期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．20
5．（2022高三上·金沙期中）现有下列四个命题：
①函数无零点；
②命题“”的否定为“”；
③若，则；
④不等式的解集为.
其中所有真命题的序号为（ ）
A．②④ B．①③ C．③④ D．②③④
6．（2022高三上·金沙期中）已知四边形为梯形，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高三上·金沙期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·金沙期中）已知，若不等式组表示的平面区域的面积为1，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·金沙期中）已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·抚顺期中）现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7cm/s
11．（2022高三上·金沙期中）设数列满足，，则数列的前19项和为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·金沙期中）黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当都是正整数，为最简真分数）时，；当或1或x为(0，1)内的无理数时，．若为偶函数，为奇函数，当]时，，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
二、填空题
13．（2022高三上·金沙期中）命题“若，则”的否命题为 .
14．（2022高三上·金沙期中）已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值： ．
15．（2022高三上·金沙期中）在等差数列中，，则的取值范围是 ．
16．（2022高三上·金沙期中）数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为
.
三、解答题
17．（2022高三上·金沙期中）设a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，向量，且.
（1）求B；
（2）若，求b.
18．（2022高三上·抚顺期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）试问正弦曲线经过怎样的变换可以得到曲线？
19．（2022高三上·金沙期中）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）讨论的单调性．
20．（2023高三上·广东月考）已知数列满足为等比数列.
（1）证明：是等差数列，并求出的通项公式.
（2）求的前项和为.
21．（2022高三上·忻州月考）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.
22．（2022高三上·金沙期中）已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.（参考数据：，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D
【分析】化简集合A，B，根据交集的定义进行运算，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】，A选项错误；，B选项错误.
因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：C
【分析】由已知结合等比数列的定义，逐项进行判断，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】．
故答案为：A
【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简求值，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，得，则，即
所以.
故答案为：B
【分析】根据向量垂直的坐标表示得m的值，再根据向量的模的公式可得答案.
5．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对①，因为直线与函数的图象有交点，所以①是假命题；
对②，命题“”的否定为“”，所以②是真命题；
对③，若，则或，又，则，所以③是真命题；
对④，由，得，解得，所以④为真命题.
故答案为：D
【分析】根据直线与函数的图象有交点，可判断①；根据命题否定定义进行求解可判断②；根据集合中元素的互异性可判断③；利用一元二次不等式的解法可判断④.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：假设在梯形，和为两腰，且，所以，则充分性不成立；
必要性：若，则一定不是梯形的底边，而是梯形的两腰，
则是梯形的底边，所以，则必要性成立，
故答案为：C．
【分析】根据梯形的定义结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
所以，又
故.
故答案为：A.
【分析】 由已知利用诱导公式可求得tanβ的值，进而利用两角和的正切公式，即可求解出答案.
8．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，可行域的形状为三角形，
它的三个顶点为，
则的面积，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由约束条件作出可行域，求出对应点的坐标，代入三角形的面积公式得答案.
9．【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为函数的最小值为2，
所以，解得，
又的图象关于点对称，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故答案为：C
【分析】利用函数的最小值求解m，结合的图象关于点对称，推出φ与m的关系，然后求解即可得 的最小值 .
10．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题设，杯子底面积为，则溶液上升高度，
所以，则cm/s.
故答案为：C
【分析】由题设可得溶液上升高度，求导并代入求值即可.
11．【答案】D
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
又，所以，
则
，
故数列的前19项和为：，
故答案为：D
【分析】 根据数列的递推式采用累加法求得，可得的通项公式，采用裂项求和法，即可求得答案.
12．【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为为偶函数，为奇函数，
则关于轴对称且关于成中心对称，
所以，，
所以是以4为周期的函数，故.
下面证明成立.
(1) 当至少一个为0时， .
(2) 当至少一个为1时，而.
故成立.
以下讨论的情况均不取0与1两个值.
(3)当恰有一个是无理数时，.
(4) 当均为无理数时，
①若为无理数，
②若为有理数，设，则，，故.
(5) 当均为有理数时，设，
①若为最简分数，则
故.
②若不为最简分数，设 (最简)，则，故 ，
.
综上有.
故答案为：C.
【分析】根据为偶函数，为奇函数，可知g(x)关于x=1轴对称，关于(2， 0)中心对称，由此可知g (x)的周期为4，再进一步结合R (x)的性质，讨论x取值特点，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】若，则
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】否命题，条件和结论都要否定，所以：
命题“若，则”的否命题为“若，则”.
故答案为：若，则
【分析】根据命题的否命题的定义可得答案.
14．【答案】4（答案不唯一，只要即可）.
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，由，得．
故答案为：4（答案不唯一，只要即可）.
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得到， 写出一个符合要求的a的值即可.
15．【答案】
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】不妨记，由题意可知，作出可行域如图所示：
当直线经过点时，取得最小值—6；
当经过点时，取得最大值3.
故的取值范围是.
故答案为：
【分析】 由题意，利用等差数列的定义、通项公式，不等式的性质，求得的取值范围.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算；两点间的距离公式
【解析】【解答】设为的中点，为的中点，如图所示，
所以
因为，所以，的最小值为.
故答案为：
【分析】根据向量的线性运算，向量数量积的极化恒等式，圆的几何性质，数形结合即可求解出 的最小值 .
17．【答案】（1）解：因为，且，
所以，
由正弦定理知，
因为，所以，
因为，所以或.
（2）解：当时，由余弦定理得，
则；
当时，由余弦定理得，
则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合向量平行的性质，求出a=2bsin A，再结合正弦定理，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解出b的值.
18．【答案】（1）解：依题意可得，
，即，
则，即，，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，
.
正弦曲线的横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍，得到曲线.
（方法一）得到的曲线的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线，
再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线.
（方法二）将得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，
所得曲线各点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据图象，先求得，然后求得；
（2）化简，结合三角函数图象变换的知识求得正确答案.
19．【答案】（1）解：当时，，则，
∴，
∴，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：函数的定义域为，
，
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由恒成立，
所以在上单调递增；
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)求导，求f(1)，求f'(1)即为切线斜率，由点斜式即可得曲线在点处的切线方程；
(2)求导，分解因式，讨论导函数等于零的两根大小关系，进而讨论f'(x)的正负，可得的单调性．
20．【答案】（1）证明：因为数列满足为等比数列，
所以的公比，首项为
所以，即，
所以是以为公差的等差数列，首项为，
所以，，
所以，
（2）解：根据错位相减法有：
，
，
所以，
，
所以
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）求出等比数列的公比，写出通项公式，结合等差数列的定义，即可求出的通项公式；
（2）采用错位相减求和法，即可求出数列的前n项和。
21．【答案】（1）解：由题意可得，解得.
设经过分钟，这杯茶水降温至，则，
解得（分钟）.
故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.
（2）解：设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，
当时，取得最大值3400万元；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1） 根据已知条件代入公式计算可得 h的值， 再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解出所需的时间；
（2）根据已知条件，结合利润=销售收入-固定成本-产品生产成本的公式，分022．【答案】（1）解：因为 ，所以.
依题意可得对恒成立，
即对恒成立.
当时，单调递增，
则，
故，
所以的取值范围是；
（2）解：，即，即.
令，则.
令，则恒成立，
所以在上单调递增.
因为，，
所以，，即.
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以，.
令，则，
所以在上单调递增.
因为，，所以，，
所以，
即的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求导得 ， 若在上单调递减，则 对恒成立，只需，即可求出 的取值范围；
(2)若不等式恒成立 ，则 ， 令 ，求导得 ， 令，求导得 的单调性，进而求出 ，进而求出的取值范围.
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贵州省毕节市金沙县2023届高三上学期理数期中教学质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·金沙期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D
【分析】化简集合A，B，根据交集的定义进行运算，可得答案.
2．（2022高三上·金沙期中）下列三个数依次成等比数列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】，A选项错误；，B选项错误.
因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：C
【分析】由已知结合等比数列的定义，逐项进行判断，可得答案.
3．（2022高三上·金沙期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】．
故答案为：A
【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简求值，可得答案.
4．（2022高三上·金沙期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【知识点】向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，得，则，即
所以.
故答案为：B
【分析】根据向量垂直的坐标表示得m的值，再根据向量的模的公式可得答案.
5．（2022高三上·金沙期中）现有下列四个命题：
①函数无零点；
②命题“”的否定为“”；
③若，则；
④不等式的解集为.
其中所有真命题的序号为（ ）
A．②④ B．①③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对①，因为直线与函数的图象有交点，所以①是假命题；
对②，命题“”的否定为“”，所以②是真命题；
对③，若，则或，又，则，所以③是真命题；
对④，由，得，解得，所以④为真命题.
故答案为：D
【分析】根据直线与函数的图象有交点，可判断①；根据命题否定定义进行求解可判断②；根据集合中元素的互异性可判断③；利用一元二次不等式的解法可判断④.
6．（2022高三上·金沙期中）已知四边形为梯形，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：假设在梯形，和为两腰，且，所以，则充分性不成立；
必要性：若，则一定不是梯形的底边，而是梯形的两腰，
则是梯形的底边，所以，则必要性成立，
故答案为：C．
【分析】根据梯形的定义结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
7．（2022高三上·金沙期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
所以，又
故.
故答案为：A.
【分析】 由已知利用诱导公式可求得tanβ的值，进而利用两角和的正切公式，即可求解出答案.
8．（2022高三上·金沙期中）已知，若不等式组表示的平面区域的面积为1，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出不等式组表示的平面区域如图所示，
由图可知，可行域的形状为三角形，
它的三个顶点为，
则的面积，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由约束条件作出可行域，求出对应点的坐标，代入三角形的面积公式得答案.
9．（2022高三上·金沙期中）已知函数的最小值为2，且的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】因为函数的最小值为2，
所以，解得，
又的图象关于点对称，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故答案为：C
【分析】利用函数的最小值求解m，结合的图象关于点对称，推出φ与m的关系，然后求解即可得 的最小值 .
10．（2022高三上·抚顺期中）现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2cm，高为8cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V（单位：ml）关于时间（单位：s）的函数解析式为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7cm/s
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由题设，杯子底面积为，则溶液上升高度，
所以，则cm/s.
故答案为：C
【分析】由题设可得溶液上升高度，求导并代入求值即可.
11．（2022高三上·金沙期中）设数列满足，，则数列的前19项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
又，所以，
则
，
故数列的前19项和为：，
故答案为：D
【分析】 根据数列的递推式采用累加法求得，可得的通项公式，采用裂项求和法，即可求得答案.
12．（2022高三上·金沙期中）黎曼函数R(x)是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当都是正整数，为最简真分数）时，；当或1或x为(0，1)内的无理数时，．若为偶函数，为奇函数，当]时，，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
【答案】C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为为偶函数，为奇函数，
则关于轴对称且关于成中心对称，
所以，，
所以是以4为周期的函数，故.
下面证明成立.
(1) 当至少一个为0时， .
(2) 当至少一个为1时，而.
故成立.
以下讨论的情况均不取0与1两个值.
(3)当恰有一个是无理数时，.
(4) 当均为无理数时，
①若为无理数，
②若为有理数，设，则，，故.
(5) 当均为有理数时，设，
①若为最简分数，则
故.
②若不为最简分数，设 (最简)，则，故 ，
.
综上有.
故答案为：C.
【分析】根据为偶函数，为奇函数，可知g(x)关于x=1轴对称，关于(2， 0)中心对称，由此可知g (x)的周期为4，再进一步结合R (x)的性质，讨论x取值特点，逐项进行判断，可得答案.
二、填空题
13．（2022高三上·金沙期中）命题“若，则”的否命题为 .
【答案】若，则
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】否命题，条件和结论都要否定，所以：
命题“若，则”的否命题为“若，则”.
故答案为：若，则
【分析】根据命题的否命题的定义可得答案.
14．（2022高三上·金沙期中）已知，若的最小值大于7，写出满足条件的一个a的值： ．
【答案】4（答案不唯一，只要即可）.
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，由，得．
故答案为：4（答案不唯一，只要即可）.
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得到， 写出一个符合要求的a的值即可.
15．（2022高三上·金沙期中）在等差数列中，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】不妨记，由题意可知，作出可行域如图所示：
当直线经过点时，取得最小值—6；
当经过点时，取得最大值3.
故的取值范围是.
故答案为：
【分析】 由题意，利用等差数列的定义、通项公式，不等式的性质，求得的取值范围.
16．（2022高三上·金沙期中）数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为
.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算；两点间的距离公式
【解析】【解答】设为的中点，为的中点，如图所示，
所以
因为，所以，的最小值为.
故答案为：
【分析】根据向量的线性运算，向量数量积的极化恒等式，圆的几何性质，数形结合即可求解出 的最小值 .
三、解答题
17．（2022高三上·金沙期中）设a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，向量，且.
（1）求B；
（2）若，求b.
【答案】（1）解：因为，且，
所以，
由正弦定理知，
因为，所以，
因为，所以或.
（2）解：当时，由余弦定理得，
则；
当时，由余弦定理得，
则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合向量平行的性质，求出a=2bsin A，再结合正弦定理，即可求解出B的值；
(2)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解出b的值.
18．（2022高三上·抚顺期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）试问正弦曲线经过怎样的变换可以得到曲线？
【答案】（1）解：依题意可得，
，即，
则，即，，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，
.
正弦曲线的横坐标不变，将纵坐标变为原来的倍，得到曲线.
（方法一）得到的曲线的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线，
再将所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线.
（方法二）将得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，
所得曲线各点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到曲线.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据图象，先求得，然后求得；
（2）化简，结合三角函数图象变换的知识求得正确答案.
19．（2022高三上·金沙期中）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）解：当时，，则，
∴，
∴，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：函数的定义域为，
，
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由恒成立，
所以在上单调递增；
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)求导，求f(1)，求f'(1)即为切线斜率，由点斜式即可得曲线在点处的切线方程；
(2)求导，分解因式，讨论导函数等于零的两根大小关系，进而讨论f'(x)的正负，可得的单调性．
20．（2023高三上·广东月考）已知数列满足为等比数列.
（1）证明：是等差数列，并求出的通项公式.
（2）求的前项和为.
【答案】（1）证明：因为数列满足为等比数列，
所以的公比，首项为
所以，即，
所以是以为公差的等差数列，首项为，
所以，，
所以，
（2）解：根据错位相减法有：
，
，
所以，
，
所以
【知识点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）求出等比数列的公比，写出通项公式，结合等差数列的定义，即可求出的通项公式；
（2）采用错位相减求和法，即可求出数列的前n项和。
21．（2022高三上·忻州月考）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）
（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）
（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意可得，解得.
设经过分钟，这杯茶水降温至，则，
解得（分钟）.
故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.
（2）解：设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，
当时，，
当时，取得最大值3400万元；
当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最大值3380万元.
因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1） 根据已知条件代入公式计算可得 h的值， 再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解出所需的时间；
（2）根据已知条件，结合利润=销售收入-固定成本-产品生产成本的公式，分022．（2022高三上·金沙期中）已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围.（参考数据：，）
【答案】（1）解：因为 ，所以.
依题意可得对恒成立，
即对恒成立.
当时，单调递增，
则，
故，
所以的取值范围是；
（2）解：，即，即.
令，则.
令，则恒成立，
所以在上单调递增.
因为，，
所以，，即.
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，所以，.
令，则，
所以在上单调递增.
因为，，所以，，
所以，
即的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求导得 ， 若在上单调递减，则 对恒成立，只需，即可求出 的取值范围；
(2)若不等式恒成立 ，则 ， 令 ，求导得 ， 令，求导得 的单调性，进而求出 ，进而求出的取值范围.
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