2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高三（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高三（上）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
设，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
已知，，则( )
A. B. C. D.
已知数列的前项和为，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
其类蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式为，其中为常数．为了测算该类蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间则该蓄电池的常数大约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是
已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是( )
A. 当时， B.
C. 的图像关于点对称 D. 函数有个零点
半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成如图所示，若它所有棱的长都为，则( )
A. 平面
B. 该二十四等边体的体积为
C. 与的夹角为
D. 该二十四等边体的外接球的表面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在圆锥的轴截面中，若两条母线的夹角为，且母线长为，则此圆锥的侧面积为______．
设曲线在点处的切线方程______．
已知函数，则的值为______．
如图，在棱长为的正方体中，、、分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列命题：
不存在点，使平面；
三棱锥的体积是定值；
平面；
经过、、、四点的球的表面积为．
正确的是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
设数列是等差数列，已知，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，求．
本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若边上的中线，且，求的值．
本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
本小题分
近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校年参加高考的位文科考生首选志愿第一个院校专业组的第一个专业填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：单位：人
首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性
男性
根据表中数据．能否有的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从年全国文科考生中随机抽取人，设被抽取的人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附：，．
本小题分
已知数列的首项为，且满足，其前项和为．
求数列的通项公式；
若，设，求数列的前项和；
在的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：或，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．
利用复数的四则运算法则化简后，然后求解复数的模．
【解答】
解：，
，
则．
故选C．

3.【答案】
【解析】解：对于选项A，
函数在上是减函数，
，
故不成立；
对于选项B，
函数在上是增函数，
，
故成立；
对于选项C、，
当，时，
，
故不成立；
故选：．
对于选项A，由函数在上是减函数可判断；
对于选项B，由函数在上是增函数可判断
对于选项C、，举反例，可判断．
本题考查了不等式的性质及函数的单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，，
，
，．
故选：．
利用二倍角公式得到，再由同角三角函数关系式能求出结果．
本题考查二倍角公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，时，．
时，，
，．
，都不正确；
时，；时，．
故选：．
利用数列递推关系即可得出，结合单调性即可判断出结论．
本题考查了前项和与通项公式之间的关系、数列的调调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
在中，与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得；在中，；在中，与相交、平行或异面．
【解答】
解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
在中，若，，，，
则与相交、平行或，故A错误；
在中，若，，，
则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
在中，若，，，则，故C错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：由题意得，即，
，
故选：．
由题意得，利用对数的运算性质，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型和对数的运算性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，
则，
当时，，
即函数在为增函数，
又，
即，
即，
又，
即，
即，
故选：．
构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较、的大小，然后由，求出、的大小即可得解．
本题考查了对数值比较大小，重点考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，而，
，故A正确；
，则，故B错误；
设向量与向量的夹角为，则，
则，故C正确；
在的投影向量是，故D错误．
故选：．
由平面向量的数量积的性质及运算逐一分析四个选项得答案．
本题考查平面向量的数量积的性质及运算，考查向量的有关概念，是中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，属于中档题．
使用代入法先求出的值，得函数解析式，再根据三角函数的性质逐一判断即可．
【解答】
解：函数的图象关于直线对称，
，，则，，
，；，
对于，函数，
根据正弦函数的奇偶性，因此函数是奇函数，故A正确；
对于，由于，，根据正弦函数的单调性，因此函数在上不单调，故B错误；
对于，因为，，
又因为，的周期为，所以则的最小值为，故C正确；
对于，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D错误．
故答案选：．

11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，则，则，
又由函数是定义在上的偶函数，则，故A正确；
对于，是定义在上的偶函数，且，
则，则函数是以为周期的周期函数，
故，故B错误；
对于，由的结论，是周期为的偶函数，
则，则有，
故的图像不关于点对称，故C错误；
对于，函数的零点数就是函数的图象与函数图象的交点数，
作函数与的图象：
观察图象知与有个交点，故D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，补齐正方体，如下图，
对于，假设平面，平面，
，，二十四等边体就是一种半正多面体，
由对称性可知，六边形为正六边形，
，这与“”矛盾，所以假设不成立，故A错误；
对于，，正方体的棱长为，
该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积，
即，故B正确；
对于，，为异面直线与所成角或补角，
在等边中，，
又，所以与的夹角为与的夹角，
即，故C错误；
对于，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，
在等腰中，，在正方形中，，
即外接球半径，该二十四等边体的外接球的表面积，故D正确．
故选：．
由题意补齐正方体，对于，假设平面，得到，根据六边形为正六边形，，得出矛盾判断；对于，结合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出；对于，由平移法找出异面直线所成角为，判断；对于，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断．
本题考查空间几何体的性质，考查推理能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得圆锥的底面圆的半径为，又母线长为，
所以圆锥的侧面积为．
故答案为：．
由题可得底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面积公式即得．
本题主要考查圆锥侧面积的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，
即为，即．
故答案为：．
求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数，
，，
．
故答案为：．
推导出，由此即可求解．
本题考查函数值的求法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
对于，设，
则，
当时，，即，
又平面，平面，
所以平面，
故存在点，使平面，故错误；
对于，因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为定值，
又为定值，
所以三棱锥的体积是定值，
即三棱锥的体积是定值，故正确；
对于，，
因为，
所以，，
又，，平面，
所以平面，故正确；
对于，分别取，的中点，，构造长方体，
则经过、、、四点的球即为长方体的外接球，
设所求外接球的半径为，
则，
所以经过、、、四点的球的表面积为，故正确．
故答案为：．
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断；证明平面，可得点到平面的距离为定值，再根据即可判断；分别取，的中点，，构造长方体，则经过、，、四点的球即为长方体的外接球，求出外接球半径，从而可判断．
本题考查了球的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，则由题意有，
，
．
Ⅱ
．
【解析】设等差数列的公差为，利用已知条件求出数列的公差，然后推出通项公式．
Ⅱ化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．
本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查数学转化思想，考查学生数学计算能力的核心素养，是中档题．
18.【答案】解：由，可得，
，则，
，故A；
是边上的中线，
，
，
，，
解得或舍去．
的值为．
【解析】先根据正弦定理可得，可得，可求角的大小；
由已知可得，进而可得，求解即可．
本题考查正余弦定理的应用，考查向量在解三角形中的应用，属中档题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：在图中，，，
是的中点，，，即在图中，，，
，，则四边形是平行四边形，则，
又，、平面，则平面；
，
平面；
Ⅱ若平面平面，
由Ⅰ知，，
为二面角的平面角，，
以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，得，令，则，，即，
由，得，令，则，故，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法，属于中档题．
Ⅰ根据线面垂直的判定定理即可证明平面，再结合即可证明；
Ⅱ若平面平面，可得，以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求平面与平面夹角的余弦值．
20.【答案】解：，
有的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关．
某个考生首选志愿为师范专业的概率，
的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列如下：
，．
【解析】求出，比较临界值可得；
求得某个考生首选志愿为师范专业的概率，的所有可能取值为，，，，求出对应概率即可得到分布列，再根据期望和方差公式求解即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列，期望和方差，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
，
，
当时，上式成立，
；
，
，
，
，
得，
整理得；
，
，
若为偶数，
则恒成立，
即，
，整理得，
，
当且仅当，即时，取最小值为，
；
若为奇数，则恒成立
，整理得，
当且仅当时，即取最大值为，
，
综上可得：．
【解析】由已知可得，运用累乘法可求数列的通项公式；
，可得，运用错位相减法可求数列的前项和；
，对分奇偶讨论，利用恒成立问题可求实数的取值范围．
本题考查求累乘法求数列的通项公式，考查错位相减法求前项和，考查恒在立问题，属中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，
所以，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令得，令得，
所以在上单调邀减：在上单调进增，
综上，当时，函数的单调递增区间为，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
因为对恒成立，
即对恒成立，
设，其中，
所以，，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
因为，
则，
设，其中，则，
所以函数在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为．
【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．
由对恒成立，得对恒成立，
设，其中，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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