《频率直方图》提升训练
一、选择题
1.有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下（12.5，15.5]，3；（15.5，18.5]，8；（18.5，21.5]，9；（21.5，24.5]，11；（24.5，27.5]，10；（27.5，30.5]，4由此估计，不大于27.5的数据约占总体的（ ）
A.91%
B.92%
C.95%
D.30%
2.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（ ）
A.64
B.54
C.48
D.27
3.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据绘制成的频率直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（ ）
A.6
B.8
C.12
D.18
二、填空题
4.教育部明确表示，今后中小学生参加体育活动情况、学生体质健康状况和运动技能等级纳入初中、高中学业水平考试，纳入学生综合素质评价体系.为更好地掌握学生体育水平，制定合适的学生体育课内容，桂林市某高中对本校100名学生平均每周锻炼身体的时间（单位：小时），制成了如图所示的频率直方图根据直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为______.
5.把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是______.
6.某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩（均为整数），并绘制频率直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100].
则频率直方图中x=______，估计这次知识竞赛成绩的合格率（60分及以上为合格）为______.
三、解答题
7.如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高（单位：cm）
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率直方图；
（3）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
8.某校在5月份开展了科技月活动在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交的时间为5月1日到31日，逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率直方图（如图）.已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）哪组上交的作品数最多？有多少件？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
9.为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率直方图如图所示.
（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用.以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式.
（2）求图中月用电量在(200，250]度的宿舍有多少间.
答案：
1.
答案：A
解析：不大于27.5的样本数为3+8+9+11+10=41，所以约占总体百分比为×100%≈91%.
2.
答案：B
解析： [4.7，4.8）之间的频率为0.32，[4.6，4.7）之间的频率为
.
3.
答案：C
解析：第一、二组的频率之和为（0.24+0.16）×1=0.4，设第三组有疗效的为x人，由已知得=解得x=12.
4.
答案：64
解析：根据频率直方图可知，这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的频率为，∴这100名高中生中平均每周锻炼身体的时间不少于8小时的人数为.
5.
答案：0.12
解析：根据频率定义，得第1组到第4组的频率为=0.56，又第5组到第7组的频率之和为0.32，所以第8组的频率为.
6.
答案：0.015 70%
解析：根据频率和为1，得（0.010+0.020+0.030+0.020+x+0.005）×10=1，解得x=0.015.60分以上的频率为（0.030+0.020+0.015+0.005）×10=0.70，∴估计这次知识竞赛成绩的合格率为70%.
7.
答案：见解析
解析：（1）样本频率分布表如下：
（2）频率直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知,身高小于的男孩出现的频率为,所以我们估计身高小于的人数占总人数的.
8.
答案：见解析
解析：(1)设从左到右各长方形的高分别为,,设参加评比的作品总数为件,
依题意得:,满足.解得.
(2)由频率直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有(件).
(3)第四组和第六组上交的作品数分别为:18件,(件),则他们的获奖率分别为.因为,所以第六组的获奖率较高.
9.
答案：见解析
解析：（1）根据题意,得:当时,用电费用为;当时,用电费用为
;综上,宿舍的用电费用为
（2）因为月用电量在度的频率为
,
所以月用电量在度的宿舍有(间).
1 / 8《频率直方图》基础训练
一、选择题
1.一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：[10，20），2；[20，30），3；[30，40），4；[40，50），5；[50，60），4；[60，70]，2.则样本在区间[10，50）上的频率为（ ）
A.0.5
B.0.7
C.0.25
D.0.05
2.下列说法正确的是（ ）
A.频率直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数
B.频率直方图中各个小矩形的面积和可以不为1
C.频率直方图中各小矩形的高（平行于纵轴的边）表示频率与组距的比
D.样本数据增加时，频率折线图不会发生变化
3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A.588
B.480
C.450
D.120
二、填空题
4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）所得数据均在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20mm.
5.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24，36），[36，48），…，[84，96）分组后绘制的频率直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为______.
6.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率直方图（如图所示）由图中数据可知a=______,若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为______.
三、解答题
7.为考察某种皮鞋的各种尺码的销售情况，以某天销售40双皮鞋为一个样本，按尺码分为5组，第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋，则售出的200双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋有多少双？
8.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率直方图，解答下列问题.
（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（2）补全频率直方图.
答案：
1.
答案：B
解析：频率为.
2.
答案：C
解析：在频率直方图中,横轴表示样本数据,纵轴表示.由于小矩形的面积=组距×=频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率,因此各小矩形面积之和等于1.综上可知正确.
3.
答案：B
解析：不少于60分的频率为0.010),所以所求学生人数为(人).
4.
答案：30
解析：由题意知,棉花纤维的长度小于的频率为,故抽测的100根中,棉花纤维的长度小于的有(根).
5.
答案：0.82
解析：先考虑不进行换算前36分以上（含36分）的学生的频率，该频率为1-0.015×12=0.82，换算后，原来36分以上（含36分）的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82.
6.
答案：0.030 3
解析：由各小组的频率之和为1可得a=0.030.而三组身高区间的人数比为3：2：1，由分层抽样的原理不难得到在[140，150]内抽取的人数为3人.
7.
答案：见解析
解析：由题设知，第3组售出皮鞋40×0.25=10（双），第5组售出的皮鞋为（双），所占比例为=0.2，所以售出的200双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋有200×0.2=40（双）.
8.
答案：见解析
解析：（1）
（2）频率直方图如图所示：
1 / 6《频率直方图》学考达标练
必备知识1频率直方图的应用
1.某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这100名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A.70
B.65
C.60
D.55
2.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学效果，该校为学生举行了一次网上阶段匿名测试已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的频率直方图，且成绩在[70，80）间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，则（ ）
A.a=0.005，m=40
B.a=0.05，m=80
C.a=0.05，m=40
D.a=0.005，m=80
3.如图所示是总体的一个样本频率直方图，且在[15，18）内的频数为
（1）求样本在[15，18）内的频率；
（2）求样本容量；
（3）若在[12，15）内的小矩形面积为0.06，求在[18，33]内的频数
必备知识2频率直方图与分层抽样的综合
4.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率直方图.现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）
A.1，3，4
B.2，3，3
C.2，2，4
D.1，1，6
5.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率直方图（如图所示）.由图中数据可知a=______.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为______.
答案：
1.
答案：A
解析：设参加测试的学生共有n名，根据，解得a=0.005.∴成绩在[70，80）间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，成绩落在[70，80）间的学生的频率为,解得
2.
答案：A
解析：设参加测试的学生共有n名，根据（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.∴成绩在[70，80）间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，成绩落在[70，80）间的学生的频率为0.03×10=0.3=,解得n=800，m=0.005×10×800=40
3.
答案：见解析
解析：由样本频率直方图可知组距为3.
（1）由样本频率直方图得样本在[15，18）内的频率等于.
（2）∵样本在[15，18）内的频数为8，由（1）可知，样本容量为
（3）∵在[12，15）内的小矩形面积为0.06，故样本在[12，15）内的频率为0.06，故样本在[15，33]内的频数为50×（1-0.06）=47，又在[15，18）内频数为8，故在[18，33]内的频数为47-8=39.
4.
答案：C
解析：采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，
则第2组抽取的人数为（人），
第3组抽取的人数为（人），
第4组抽取的人数为（人）
5.
答案：0.030 3
解析：根据频率直方图的特点知（0.005+0010+0.020+a+0.035）×10=1，解得a=0.030.由于身高在[120，130），[130，140），[140，150]的学生所对应的频率为0.030×10=0.3，0.020×10=0.2，0.010×10=0.1，那么从这三组内的学生抽取18人的身高在[140，150]的学生有.
1 / 5《频率直方图》高考通关练
关键能力 频率直方图的综合应用
1.某校100名学生的数学测试成绩的频率直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是( )
A.130
B.140
C.133
D.137
2.某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，1061已知样本中产品净重小于100g的个数是36，则样本中净重大于或等于98g并且小于104g的产品的个数是( )
A.90
B.75
C.60
D.45
3.美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁.下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率直方图；
（2）用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况.
4.在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.
（1）求T关于x的函数解析式；
（2）根据直方图估计利润T不少于100元的频率.
答案：
1.
答案：C
解析：由已知可以判断，所以，解得，故选C.
2.
答案：A
解析：由频率直方图可知，产品净重小于100g的频率是，所以样本中产品的个数为.产品净重大于或等于104g的频率为.所以产品净重大于或等于98g而小于104g的频率为.则净重在此范围内的产品个数为.
3.
答案：见解析
解析：（1）以4为组距，列表如下：
频率直方图如下：
（2）从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小.
4.
答案：见解析
解析：（1）由题意，当时，利润，当时，利润，即T关于x的函数解析式
（2）由（1）知，利润T不少于100元时，即.
，即，由直方图可知，当时，所求频率为.
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