苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.4.1用样本估计总体的集中趋势参数 教学设计

第十四章　统计
14.4　用样本估计总体
14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数
在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．
课程目标 学科素养
1.了解平均数为什么是“最理想”的近似值. 2.会计算一组数据的平均数. 3.会根据频率分布表或频率直方图估计平均数． 在学习和应用平均数、中位数和众数的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
1.教学重点：会计算一组数据的平均数.
2.教学难点：会根据频率分布表或频率直方图估计平均数．
多媒体调试、讲义分发。
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
问题　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
提示　三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.
知识点一　平均数
一般地，使(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a最小的x＝称为这n个数据a1，a2，…，an的平均数．
一般记为：＝.
知识点二　平均数的估计
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
知识点三　众数与中位数
1．众数：一般地，将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数．
2．中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数．
一、平均数的计算
例1　(1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下：
14　15　14　16　15　17　16　15　16　16　15　15
17　13　14　15　16　16　15　14　15　15　14　15
16　17　16　15　15　15　16　15　13　16　15　15
17　14　15　16　16　15　14　15　15
求全班的平均年龄．
(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率直方图．
试利用频率直方图估计高三年级学生的平均成绩．
解　(1)方法一　利用平均数的公式计算：
＝×(14＋15＋…＋15)＝×684＝15.2.
方法二　利用平均数的简化公式计算．
取a＝15，将已知各数减去15，得
－1　0　－1　1　0　2　1　0　1　1　0　0　2　－2　－1　0　1　1　0　－1　0　0　－1　0　1　2　1　0　0　0　1　0　－2　1　0　0　2　－1　0　1　1　0　－1　0　0
′＝×(－1＋0＋…＋0)＝×9＝0.2，
＝′＋a＝0.2＋15＝15.2.
方法三　利用加权平均数公式计算．
＝×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)
＝×684＝15.2.
即全班的平均年龄是15.2岁．
(2)样本平均数是频率直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．
故平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2(分)．
反思感悟　(1)给定一组数据，要求其平均数可直接套用公式，若这组数据都在某一数据附近波动，可用平均数的简化公式计算，若这组数据某些数多次出现，可用加权平均数公式计算．
(2)在频率分布表中，平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进行估计．
(3)若一组数据的个数未知，但每一数据所占比例已知，可用频率平均数公式．
跟踪训练1　一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率直方图如图．试估计这个样本的平均数．
解　平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
二、频率分布与数字特征的综合应用
例2　已知一组数据：
125　121　123　125　127　129　125　128　130　129
126　124　125　127　126　122　124　125　126　128
(1)填写下面的频率分布表：
分组 频数 频率
[121,123)
[123,125)
[125,127)
[127,129)
[129,131]
合计
(2)作出频率直方图；
(3)根据频率直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．
解　(1)频率分布表如下．
分组 频数 频率
[121,123) 2 0.10
[123,125) 3 0.15
[125,127) 8 0.40
[127,129) 4 0.20
[129,131] 3 0.15
合计 20 1.00
(2)频率直方图如下．
(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，
平均数的精确值为＝125.75.
反思感悟　众数、中位数、平均数与频率分布表、频率直方图的关系
(1)众数：众数一般用频率表中频率最高的一小组的组中值来显示，即在样本数据的频率直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和．
注意　因为频率直方图不能体现样本数据，因此由频率直方图得到的中位数不一定在样本数据中出现．
跟踪训练2　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69.
三、数字特征的应用
例3　某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
职位 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
解　(1)公司职工月工资的平均数为
＝
＝≈2 091.
若把所有数据从小到大排序，则得到中位数是1 500，众数是1 500.
(2)当董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
＝
＝≈3 288.
中位数是1 500，众数是1 500.
(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
反思感悟　三种数字特征的比较
名称 优点 缺点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征
中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
跟踪训练3　某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；
[2,2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；
[4,4.5]，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
解　(1)频率分布表．
分组 频数 频率
[0,0.5) 4 0.04
[0.5,1) 8 0.08
[1,1.5) 15 0.15
[1.5,2) 22 0.22
[2,2.5) 25 0.25
[2.5,3) 14 0.14
[3,3.5) 6 0.06
[3.5,4) 4 0.04
[4,4.5] 2 0.02
合计 100 1
(2)频率直方图如图．
众数：2.25；中位数：2.02；平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．众数是一组数据中出现次数最多的数
答案　ACD
解析　平均数不大于最大值，不小于最小值．故B错．
2．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，下列结论正确的是(　　)
A．这组数据的众数是3
B．这组数据的众数与中位数的数值不相等
C．这组数据的中位数与平均数的数值相等
D．这组数据的平均数与众数的数值相等
答案　A
解析　在这11个数中，数3出现了6次，出现的次数最多，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数＝＝4.故只有A正确．
3．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是(　　)
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
答案　D
4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
答案　85
解析　平均成绩为＝85(分)．
5．样本容量为100的频率直方图如图所示，根据样本频率直方图，得平均数为________．
答案　14.84
解析　平均数＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84.
利用频率分布直方图求数字特征：
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
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