苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.4.2用样本估计总体的离散程度参数 教学设计

第十四章　统计
14.4　用样本估计总体
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．
课程目标 学科素养
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差. 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征. 3.体会用样本估计总体的思想． 在学习和应用标准差、方差和极差的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
1.教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.
2.教学难点：会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.
多媒体调试、讲义分发。
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
问题　若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
提示　不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
知识点一　极差
1．定义：一组数据的最大值与最小值的差．
2．作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中．
知识点二　方差、标准差
1．方差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，则称s2＝(xi－)2为这个样本的方差，简称样本方差．
2．标准差：方差的算术平方根s＝为样本的标准差，简称样本标准差．
3．标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为.
一、方差、标准差的计算
例1　(1)设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为________．
答案　1＋a,4
解析　＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，方差不变仍为4.
(2)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．
解　甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，
s甲＝≈10.208.
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，
同理s＝128.8，s乙＝≈11.349.
反思感悟　方差的计算方法
(1)s2＝[(x＋x＋…＋x)－n·2]；
s2＝(x＋x＋…＋x)－2.
(2)用定义的公式计算方差的一般步骤
①先求出样本平均数；
②再计算一组差：xi－(i＝1,2，…，n)；
③计算②中差的平方，得到一组新的数据：
(x1－)2，(x2－)2，…，(xn－)2；
④计算③中这组新数据的平均数，即为所求的方差s2，即s2＝(xi－)2.
跟踪训练1　已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？
解　方法一　∵＝＝3，∴x＝4.
由方差公式得，
s2＝[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s＝.
方法二　∵＝＝3，∴x＝4，
由方差公式的变形公式得，
s2＝(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s＝.
二、方差的性质
例2　设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差．
(1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b；
(2)ax1，ax2，…，axn；
(3)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b.
解　设数据x1，x2，…，xn的平均数为，
则数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为＋b，
数据ax1，ax2，…，axn的平均数为a，
数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，
设数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s，
数据ax1，ax2，…，axn的方差为s，
数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为s.
(1)s＝[(x1＋b－－b)2＋(x2＋b－－b)2＋…＋(xn＋b－－b)2]
＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝s2.
(2)s＝[(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]
＝a2·[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝a2s2.
(3)s＝[(ax1＋b－a－b)2＋(ax2＋b－a－b)2＋…＋(axn＋b－a－b)2]
＝[(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]
＝a2s2.
反思感悟　方差的性质
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差相等．
(2)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差．
跟踪训练2　(1)已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，xn－1的平均数是________，方差是________．
(2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是________，方差是________．
答案　(1)1　6　(2)－1　16
三、方差、标准差的应用
例3　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差和标准差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
(4)估计两名战士射击环数落在区间(－s，＋s)内的百分比是多少．
解　(1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
故s甲≈1.7，s乙≈1.1.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s，说明甲战士射击情况波动大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
(4)对于甲，样本数据落在(－s，＋s)，即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.对于乙，样本数据落在(－s，＋s)，即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.
反思感悟　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定．
跟踪训练3　某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：102　101　99　98　103　98　99
乙：110　115　90　85　75　115　110
试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．
解　甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
s＝[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]
＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]
＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)
≈228.57.
所以s＜s，故甲车间产品较稳定．
1．下列说法正确的是(　　)
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
答案　B
解析　A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
2．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是(　　)
A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.7
答案　A
解析　5个数的平均数＝＝5.1，所以它们的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
3．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选择决赛的最佳人选应是(　　)
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 6.3 6.3 7 8.7
A.甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　B
解析　∵乙＝丙>甲＝丁，且s＝s4．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A.＝4，s2＝2 B.＝4，s2>2
C.＝4，s2<2 D.>4，s2<2
答案　C
解析　根据题意有＝＝4，
而s2＝<2.
5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．
答案　2
解析　由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
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