苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.4.2用样本估计总体的离散程度参数_练习（解析版）

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数
1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)
A. B. C．2 D.
2．若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是(　　)
A．24.52 B．24.54
C．24.56 D．24.58
3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为(　　)
A．92,2.8 B．92,2
C．93,2 D．93,2.8
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和s B，则(　　)
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
5．样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一组数据的s2＝______.
7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
8．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差为________．
9．某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)高一10位男同学的体重数据中，位于[－s，＋s]内的有几个？所占的百分比是多少？
10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的频数直方图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
12．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
13．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为(　　)
A．s＝s1 B．sC．s>s1 D．不能确定
14．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
15．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________________．(从小到大排列)
16．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量 组别 平均成绩 标准差
第一组 90 6
第二组 80 4
求全班学生的平均成绩和标准差．
14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数答案
1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)
A. B. C．2 D.
【答案】　A
【解析】　∵样本容量n＝5，
∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝＝.
2．若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是(　　)
A．24.52 B．24.54
C．24.56 D．24.58
【答案】　C
【解析】　由＝5得x＝14，
由＝6得y＝9.
所以s2＝24.56.
3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为(　　)
A．92,2.8 B．92,2
C．93,2 D．93,2.8
【答案】　A
【解析】　该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为
＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和s B，则(　　)
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
【答案】　B
【解析】　由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
显然A又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.
5．样本a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】　C
【解析】　x2－5x＋4＝0的两根是1,4.
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.
∴a＝1，b＝4，则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一组数据的s2＝______.
【答案】　
【解析】　由题意知甲＝(6＋7＋7＋8＋7)＝7，
乙＝(6＋7＋6＋7＋9)＝7，
s＝[(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝，
s＝[(6－7)2＋…＋(9－7)2]＝.
∵＜，∴较小的一个s2＝.
7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
【答案】　16
【解析】　设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，
可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.
8．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差为________．
【答案】　
【解析】　由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵＝5，
∴s2＝[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝×8×9＝，∴s＝.
9．某校医务室随机抽查了高一10位男同学的体重(单位：kg)如下：
74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)高一10位男同学的体重数据中，位于[－s，＋s]内的有几个？所占的百分比是多少？
解　(1)这10位男同学的体重数据的平均数＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.
将这10位男同学的体重数据按从小到大重新排列，得65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，
所以这10位男同学的体重数据的中位数为＝71.5，这10位男同学的体重数据的方差s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－712)]＝11，
标准差s＝＝.
(2)因为[－s，＋s]＝[71－，71＋]，
所以数据74,71,72,68,76,73,67,70,65,74中，有7个数据位于区间[71－，71＋]内，所占的百分比为70%.
10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
解　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
高＝＝45(岁)，
年龄的方差为
s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]
＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝×[2＋(38－39.2)2]＋×[73＋(45－39.2)2]
＝20.64.
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的频数直方图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】　C
【解析】　由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
12．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)
A.，s2＋1002 B.＋100，s2＋1002
C.，s2 D.＋100，s2
【答案】　D
【解析】　方法一　因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变．
方法二　由题意知x1＋x2＋…＋x10＝10，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]，
则所求平均数＝[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝(10＋10×100)＝＋100，
所求方差为[(x1＋100－)2＋(x2＋100－)2＋…＋(x10＋100－)2]＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝s2.
13．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为(　　)
A．s＝s1 B．sC．s>s1 D．不能确定
【答案】　C
【解析】　由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则s＝
s1＝，，
若比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可，而(15－)2＋(23－)2＝754－76＋22，(20－)2＋(18－)2＝724－76＋22，所以(15－)2＋(23－)2>(20－)2＋(18－)2，从而s>s1.
14．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
【答案】　10
【解析】　设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，
则由题意知＝7，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，
五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，
由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.
由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6.
由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，
故最大值为10.
15．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________________．(从小到大排列)
【答案】　1,1,3,3
【解析】　假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则
∴
又s＝
＝
＝＝1，
∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为方程(x－2)2＋(y－2)2＝2的解，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.
16．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量 组别 平均成绩 标准差
第一组 90 6
第二组 80 4
求全班学生的平均成绩和标准差．
解　设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为
(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则
s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)(此处，＝90，＝80)，
又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为(＝85)，故有s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
即s＝.
所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为.
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