苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.4.3用频率直方图估计总体分布、百分位数 教学设计

第十四章　统计
14.4.3　用频率直方图估计总体分布、百分位数
教材从设计上要求学生体会不同抽样方法的特点，鼓励学生从统计图表和基本数字特征中获取尽可能多的有用信息，体会统计图表和基本数字特征的特点；鼓励学生根据样本的信息对总体作出推断，体会用样本估计总体的思想，认识统计的作用和统计思维的特征；鼓励学生对数据处理过程进行反思，形成对数据处理过程进行初步评价的意识；鼓励学生通过不同视角或方法进行统计分析，在比较中深化认识统计量，提高统计分析的能力；
课程目标 学科素养
1.用频率直方图估计总体分布. 2.结合实例，能用样本估计百分位数. 3.理解百分位数的统计含义． 在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养.
1.教学重点：用频率直方图估计总体分布.
2.教学难点：理解百分位数的统计含义．
多媒体调试、讲义分发。
某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.
问题　那么如何确定需要补考的分数线呢？
提示　利用百分位数计算.
知识点　百分位数
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.
2．计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤如下：
第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列；
第2步　计算k·；
第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；
第4步　如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数．
3．四分位数
25,50,75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数．
一、用频率直方图估计总体分布
例1　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？
解　(1)频率直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08.
因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率直方图可知该校高一年级全体学生的达标率约为×100%＝88%.
反思感悟　频率直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用了样本在某一范围内的频率，可近似地估计在这一范围内的可能性．
跟踪训练1　为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，随机抽取20台，其无故障连续使用时限(单位：h)统计如下：
分组 频数 频率 频率/组距
[180,200) 1 0.05 0.002 5
[200,220) 1 0.05 0.002 5
[220,240) 2 0.10 0.005 0
[240,260) 3 0.15 0.007 5
[260,280) 4 0.20 0.010 0
[280,300) 6 0.30 0.015 0
[300,320) 2 0.10 0.005 0
[320,340] 1 0.05 0.002 5
合计 20 1 0.050 0
(1)作出频率直方图；
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有多少台；
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限．
解　(1)频率直方图如图所示．
(2)由题意得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280 h的有3.6万台．
(3)由频率直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(h)．
故估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限为269 h.
二、百分位数的计算
例2　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，
分别求出这组数据的25百分位数，75百分位数，95百分位数．
解　将所有数据从小到大排列，得
7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，
所以25×＝3,75×＝9,95×＝11.4，
则25百分位数是＝8.15，
75百分位数是＝8.75，
95百分位数是第12个数据为9.9.
反思感悟　计算一组n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤
第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列；
第2步　计算k·；
第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；
第4步　如果k·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数．
跟踪训练2　某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50百分位数为________．
答案　8.5
解析　∵50×＝3.5，
∴其50百分位数是第4个数据为8.5.
三、百分位数的综合应用
例3　教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的60,80百分位数；
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数．
解　从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，
前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，
前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.
(1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60百分位数为110，样本数据的80百分位数一定在第八组[115,120)内，由115＋5×≈119.4，估计样本数据的80百分位数约为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90百分位数一定在第九组[120,125)内，由120＋5×≈124.1，估计2020年高考考生的数学成绩的90百分位数为124.1.
反思感悟　由频率直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)一般采用方程的思想，设出k百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
跟踪训练3　为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率直方图如图所示，你能估计一下60株树木的50百分位数和75百分位数吗？
解　由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.15＝9，
在[90,100)上为60×0.25＝15，
在[100,110)上为60×0.3＝18，
在[110,120)上为60×0.2＝12，
在[120,130]上为60×0.1＝6.
从以上数据可知50百分位数一定落在区间[100,110)上，
由100＋10×＝100＋≈103.3；
75百分位数一定落在区间[110,120)上，
由110＋10×＝110＋＝112.5.
综上可知，50百分位数和75百分位数分别估计为103.3 cm，112.5 cm.
1．(多选)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法不正确的是(　　)
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
答案　ABD
解析　因为75×＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，则C正确，其他选项均不对，故选ABD.
2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数为(　　)
A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.3
答案　A
解析　因为30×＝2.4，故30百分位数是第三个数据8.4.
3．党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年到2016年4年间，累计脱贫5 564万人.2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3 000户家庭的2017年所得年收入情况进行调查统计，年收入的频率直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万元的家庭大约有(　　)
A．900户 B．600户
C．300户 D．150户
答案　A
解析　由频率直方图得，年收入不超过6万元的家庭的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以年收入不超过6万元的家庭大约有0.3×3 000＝900(户)．
4．下列一组数据的25百分位数是(　　)
2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
答案　A
解析　把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由25×＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25百分位数．
5．一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．
答案　
解析　样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10,14)内，估计此样本数据的50百分位数为10＋×4＝.
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：
①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
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