苏教版（2019）高中数学必修第二册 14.4.3用频率直方图估计总体分布、百分位数 练习（解析版）

14.4.3　用频率直方图估计总体分布、百分位数
1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的80百分位数是(　　)
A．90 B．90.5 C．91 D．91.5
2．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　)
A．22.5,20 B．22.5,22.75
C．22.75,22.5 D．22.75,25
3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a,50百分位数为b，则有(　　)
A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15
C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15
4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是(　　)
A．29 mm B．29.5 mm
C．30 mm D．30.5 mm
5．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：27,28,39,40，m,50；
乙组：24，n,34,43,48,52.
若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则等于(　　)
A. B. C. D.
6．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为______，75%分位数为________，90%分位数为________．
7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的________百分位数．
8．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率直方图如图所示，利用这个残缺的频率直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是________．(保留一位小数点)
9．求下列数据的四分位数．
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
10．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
网购金额(单位：千元) 人数 频率
[0,1) 16 0.08
[1,2) 24 0.12
[2,3) x p
[3,4) y q
[4,5) 16 0.08
[5,6] 14 0.07
合计 200 1.00
已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率直方图；
(2)估计网购金额的25百分位数(结果保留3位有效数字)．
11．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率直方图(如图)．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为(　　)
A．85,0.25 B．90,0.35
C．87.5,0.25 D．87.5,0.35
12．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．
13．如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10百分位数为______，日最低气温的80百分位数为______．
14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒．
15．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)
A．[4.5，＋∞) B．[4.5,6.6)
C．(4.5，＋∞) D．(4.5,6.6]
16．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数【解析】式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数．
14.4.3　用频率直方图估计总体分布、百分位数答案
1.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的80百分位数是(　　)
A．90 B．90.5 C．91 D．91.5
【答案】　B
【解析】　把成绩按从小到大的顺序排列为
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，
因为80×＝12，所以这15人成绩的80百分位数是＝90.5.
2．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　)
A．22.5,20 B．22.5,22.75
C．22.75,22.5 D．22.75,25
【答案】　C
【解析】　由题意，这批产品的平均数为＝5×(0.02×12.5＋0.04×17.5＋0.08×22.5＋0.03×27.5＋0.03×32.5)＝22.75，
其中位数为x0＝20＋＝22.5.故选C.
3．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a,50百分位数为b，则有(　　)
A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15
C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15
【答案】　D
【解析】　把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的50百分位数为b＝＝15.
4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是(　　)
A．29 mm B．29.5 mm
C．30 mm D．30.5 mm
【答案】　A
【解析】　棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，
在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，
因此，80百分位数一定位于[25,30)内，
由25＋5×＝29，
可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29 mm.
5．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：27,28,39,40，m,50；
乙组：24，n,34,43,48,52.
若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　因为×6＝1.8，×6＝4.8，所以30百分位数为n＝28,80百分位数为m＝48，所以＝＝.
6．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为______，75%分位数为________，90%分位数为________．
【答案】　3　8　9.5
【解析】　因为数据个数为10，而且10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.
所以该组数据的25%分位数为x3＝3,75%分位数为x8＝8,90%分位数为＝＝9.5.
7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的________百分位数．
【答案】　30
【解析】　因为分数位于[20,40)，[40,60)的频率之和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的30百分位数．
8．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率直方图如图所示，利用这个残缺的频率直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是________．(保留一位小数点)
【答案】　33.6
【解析】　在频率直方图中，所有矩形面积之和为1，
所以，数据位于[25,30)的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，
前两个矩形的面积之和为0.01×5＋0.2＝0.25，
前三个矩形的面积之和为0.25＋0.07×5＝0.6，
所以，中位数位于区间[30,35)，设中位数为a，
则有0.25＋(a－30)×0.07＝0.5，解得a≈33.6(岁).
9．求下列数据的四分位数．
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.
解　把12个数据按从小到大的顺序排列可得：
12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，
计算25×＝3,50×＝6,75×＝9，
所以数据的25百分位数为＝16.5，
50百分位数为＝21，
75百分位数为＝27.5.
10．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
网购金额(单位：千元) 人数 频率
[0,1) 16 0.08
[1,2) 24 0.12
[2,3) x p
[3,4) y q
[4,5) 16 0.08
[5,6] 14 0.07
合计 200 1.00
已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率直方图；
(2)估计网购金额的25百分位数(结果保留3位有效数字)．
解　(1)根据题意有
解得
所以p＝0.4，q＝0.25.
补全频率直方图如图所示．
(2)由(1)可知，网购金额低于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2，
网购金额低于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，
所以网购金额的25百分位数在[2,3)内，
则网购金额的25百分位数估计为2＋×1＝
2．125≈2.13(千元)．
11．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率直方图(如图)．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为(　　)
A．85,0.25 B．90,0.35
C．87.5,0.25 D．87.5,0.35
【答案】　D
【解析】　由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为＝87.5，
由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35，
∴由频率直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为0.35.
12．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．
【答案】　8.6
【解析】　由60×＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.
13．如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的10百分位数为______，日最低气温的80百分位数为______．
【答案】　24 ℃　16 ℃
【解析】　由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24,24.5,24.5,25,26,26,27，因为共有7个数据，所以7×＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10百分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序，得12,12,13,14,15,16,17，因为共有7个数据，所以7×＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80百分位数是第6个数据，为16 ℃.
14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒．
【答案】　16.5
【解析】　设成绩的70百分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16,17)，
所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.
15．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)
A．[4.5，＋∞) B．[4.5,6.6)
C．(4.5，＋∞) D．(4.5,6.6]
【答案】　A
【解析】　因为65×＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6个数据4.5，则x≥4.5，故选A.
16．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数【解析】式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75百分位数．
解　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200＜x≤400时，
y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；
当x＞400时，
y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数【解析】式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，
结合频率直方图可知
解得
(3)设75百分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为
(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量低于400千瓦时的占80%，
所以75百分位数m在[300,400)内，
所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375，即用电量的75百分位数为375千瓦时．
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