一、立体几何&空间向量
【知识梳理】
1. 4公理3推论
2. 点线面位置关系：（1）线线；（2）线面；（3）面面
3. 空间角：（1）线线角（平移，建系）；（2）线面角（定义，三垂线）；（3）二面角（定义，三垂线）
4. 空间距离：（1）点面距离（等体积法，建系法）；（2）线面距离；（3）异面直线距离
5. 多面体：（1）棱柱；（2）棱锥
6. 旋转体：（1）圆柱；（2）圆锥；（3）球
7. 空间向量：（1）运算；（2）基本定理；（3）坐标表示；（4）应用
【期末真题】
一、填空题
1.【22金山区2】半径为1的球的体积为________.【答案】
2.【22长宁区1】圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.【答案】
3.【22嘉一2】正方体中，、分别为、的中点，则与面所成的
角是 .【答案】
【提示】，对角面所成角，连接交于，平面，
即即为与对角面所成角，在中，因为，所以.
4.【22长宁区3】若球的大圆的面积为，则该球的表面积为__________.【答案】
5.【22金山区3】已知向量，向量，若，则实数的值为________.
【答案】2
6.【22嘉一3】已知三棱锥，、分别是对边、的中点，点在上，且，
设，，，则 （用表示）.
【答案】
【解析】如图，因为点在上，且，
所以为的中点，连接，且、分别是对边、的中点，
则.
7.【22嘉一4】如图，在正方体中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角为 .
【答案】
【解析】取的中点，的中点，连接、、，
易得面，而面，
所以，所以直线与所成的角为
8.【22南模4】如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 .【答案】
【提示】圆锥底面的半径为2，故点是底面圆周与轴负半轴的交点
点在圆锥的母线上这条母线与轴交于点，即圆锥的高为4
由圆锥的体积公式得其体积为
9.【22金山区5】在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为________.
【答案】
10.【22长宁区5】正四棱锥底面边长和高均为分别是
其所在棱的中点，则棱台的体积为__________.
【答案】
11.【22南模5】已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 .【答案】1
【解析】，
点到的距离为
12.【22金山区6】将边长为2的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.
【答案】
【解析】所得的圆柱体积为
13.【22南模6】图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，
图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三
个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点
之间的距离为20，则其侧面积为 .【答案】
【解析】为等边三角形，且边长为20，如图所示，所以弧的长度为
曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为5的矩形，所以
14.【22金山区7】生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.这个经验用我们所学的数学公理可以表述为 .
【答案】不在同一直线上的三点确定一个平面
15.【22嘉一7】对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点：②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交. 其中，使三条直线共面的充分条件有 .
【答案】①④
【解析】①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内，故①正确；
②中可能有其中一条直线和另外两条直线确定的平面平行，
还有可能三条直线分别在三个相互平行的平面内，故②不对；
③中三条相交直线不共面时.则它们可确定3个平面，如三棱锥的侧面，故③不对；
④中两直线平行确定一个平面，则第三条直线在这个平面内，故④正确；
故使三条直线共面的充分条件有①④
16.【22长宁区8】如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是__________.
①直线与直线垂直； ②直线与直线相交；
③直线与直线平行； ④直线与直线异面；
【答案】① ④
17.【22交附8】如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为________.
【答案】
【解析】由题意，连接，交于点
长方体中，，
平面，所以为直线和平面所成角
在中，，直线和平面所成角的正弦值为
18.【22嘉一9】棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，、分别是棱、的中点，则直线被球截得的线段长为 .【答案】
【解析】，，过球心和点、的大圆的截面图如图所示
则直线被球截得的线段为，过点作于点
所以在中，.
19.【22南模9】已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是 .【答案】
【解析】因为，，所以，即
以球心为原点，以平面的垂线为竖轴建立空间坐标系，设
则，且
所以
因为是球上的一点，所以
设，则当直线与圆相切时，取得最值
所以，所以，当时，取得最大值
当时，取得最小值，故的取值范围为
20.【22长宁区10】已知平面和两条不同的直线，则下列判断中佂确的序号是 .【答案】②④
①若，则； ②，则；
③若，则； ④，则；
21.【22金山区11】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数为______.
【答案】1
【解析】由投影的概念，，故元素个数为1
22.【22南模11】如图，是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为.其中正确的结论是 .（要求填上所有正确结论的序号）【答案】①②⑤
【解析】如图，原来的六个面还在，只不过是变成了一个小正方形，
再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计个面，故③错；
每个正方形4条边，每个三角形3条边，，
考虑到每条边对应两个面，所以实际只有条棱.②正确；
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12.
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个，①正确；三角形和四边形的边长都是，所以正方形总面积为，
三角形总面积为，表面积，故④错；
体积为原正方体体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为，
剩余总体积为，⑤正确. 故正确的结论是①②⑤
23.【22长宁区12】已知直线和平面，且；
①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；
对于以上命题中，所有正确的序号是__________.
【答案】①②
24.【22金山区12】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.
【答案】1
【解析】圆锥的母线为2，底面半径满足，所以，则高，
由祖暅原理，该几何体的体积为
二、选择题
25.【22嘉一13】已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法：
①若垂直于内两条相交直线，则；②若且，则；
③若，则； ④若且，则.
其中正确的序号是 【答案】
A.①③ B.①②③ C.①③④ D.②④
【解析】对于①，由线面垂直的判定定理，得当垂直于内两条相交直线时，，故①是真命题；
对于②，若且，则错误，故②不正确；对于③，若，则正确，故③正确；对于④，若且，也可，，故④不正确；因此正确命题的序号为①③，故选
26.【22南模13】若两条异面直线，外的任意一点，则 【答案】
A.过点有且仅有一条直线与都平行
B.过点有且仅有一条直线与都垂直
C.过点有且仅有一条直线与都相交
D.过点有且仅有一条直线与都异面
【解析】设过点的直线为，若与、都平行，则、平行，与、异面矛盾，故选项错误；
由于、只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有一条，故正确；对于选项、可参考正方体，设为直线，为直线，若点在点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项错误；若在点，则由图中可知直线及均与、异面，故选项错误. 故选
27.【22长宁区14】已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A.若，则存在无数条直线，使得 B.若，则存在无数条直线，使得
C.若存在无数条直线，使得，则 D.若存在无数条直线，使得，则
【答案】D
28.【22金山区14】设是两个不同的平面，是一条直线，则以下命题正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】D
【解析】A.若，则或，错误；
B.若，则和平行，相交，在平面内均可，错误；
C.若，则和平行，相交，在平面内均可，错误；
D.若，则，正确；故选
29.【22南模15】空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，
因为经过直线的方程为，所以直线的一个方向向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.故选
30.【22长宁区16】在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
31.【22南模16】上海体育场（Shanghai Stadium），又称“上海八万人体育场”. 上海体育场正在进行改建，改建后的上海体育场将成为全国建设标准最高的体育场之一. 改建中显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.
给出下列三个结论：
①正方体各顶点的曲率为；
②任意三棱锥的总曲率均为；
③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为.
其中，所有正确结论的序号是 【答案】
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】①由，得正方体各顶点的曲率为，正确；
②因为三棱锥有4个顶点，4个面，四个面都是三角形，所以三棱锥的总曲率为；
③由①得.其中，所有正确结论的序号是①②③.故选.
32.【22嘉一16】如图，已知正方体的棱长为为正方体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积为，则点的轨迹长度为
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】连接平面，所以，又，所以平面，所以，同理，且，所以平面，
因为棱长为，所以，设点到平面的距离为，
由得，
所以，所以，所以，即点在平面内，
从而，所以，
解得，故点在以为圆心，为半径的圆上，圆的周长为，点的轨迹为圆在三角形内的弧长，点到底面的距离为，所以，，由对称性得圆在三角形内的弧长占周长的一半，所以点的轨迹长度为，故选.
三、解答题
33.【22长宁区17】（第1小题4分，第2小题4分，共8分）
如图，底面是矩形的直棱柱中，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）略；（2）
34.【22嘉一17】如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）取中点为，连接、，
因为分别为、的中点，所以，.
又四边形为正方形，所以，，
又因为为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
设，则，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，设直线与平面所成角为，
则，所以直线与平面所成角为.
35.【22南模17】如图，在直三棱柱中，.
（1）若，求证：平面；
（2）若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.【答案】（1）详见解析：（2）
【解析】（1）当时，.
又，，且，所以平面.
而平面，所以.
由得平面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，得，
设，设平面的法向量为，
则，，因为，
且，所以，所以，
取，得平面的一个法向量为，且，又，
于是点到平面的距离
或（舍），
所以当点为棱的中点时，点到平面的距离等于.
36.【22交附17】如图，在直三棱柱中，，，.
（1）求三棱柱的表面积S；
（2）求异面直线与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）.
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）在△中，因为，，
，所以.…………1分
.………………3分
所以
.…………6分
（2）连结，
因为∥，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角.…………8分
在△中，，，，
由余弦定理，，…………12分
所以.即异面直线与所成角的大小为.……14分
37.【22金山区18】如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点.
（1）求以为顶点的四面体的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）该四面体是以为底面，P为顶点的三棱锥.
P到平面的距离，的面积. …… 3分
因此四面体的体积. …… 6分
（2）法一：连接AP，则，
所以就是异面直线与所成的角或其补角. …… 10分
在Rt△ABP中，；
在Rt中，；
在Rt中，.
在中，， …… 13分
所以异面直线与所成的角的大小为. ……14分
法二：以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，
建立空间直角坐标系. …… 8分
则，，，. 故，. …… 10分
设异面直线与所成的角的大小为，
则. … 13分
故异面直线与所成的角的大小为. …… 14分
38.【22长宁区19】（第1小题4分，第2小题6分，共10分）
已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱.
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线
与所成角的大小.
【答案】（1）；（2）
39.【22金山区19】如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求证：直线平面.
【答案】（1）直线平面AEC；（2）详见解析
【解析】法一：
（1）连接BD，设，连接OE. 在中，O、E分别是BD、的中点，
则. …… 2分
因为直线AE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上，…… 4分
根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC. …… 7分
（2）直线在平面ABCD上的投影是BD， …… 9分
显然有. 由三垂线定理，得. …… 11分
同理可得，. …… 13分
由于AC和是平面上的两条相交直线，
根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
法二：（1）以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，
建立空间直角坐标系. …… 1分 设正方体的棱长为，
则，，，，，
故，，. …… 3分
设平面AEC的法向量为，则，，即.
取，从而得到平面AEC的一个法向量为. …… 5分
而，所以. …… 6分
因为直线不在平面AEC上，所以直线平面AEC. …… 7分
（2），，故，，
所以，，即，， …… 11分
由于AC和是平面上的两条相交直线，
根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
法三：（2）设平面的法向量为，则，，即，
取，得到平面的一个法向量为， 11分
从而，所以，由此可得直线平面. … 14分
40.【22金山区20】如图，在直棱柱中，已知，点分别是的中点.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角
的大小是？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不存在
【解析】（1）以点A为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，
建立空间直角坐标系. …… 1分 则，，，，
故，，从而， …… 4分
所以异面直线AE与DF所成的角的大小为. …… 6分
（2），设平面DEF的法向量为，
则，，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为. …… 9分
点A到平面DEF的距离为. …… 12分
（3）假设存在满足条件的点M，设（），
则，从而， …… 14分
即，此方程无实数解，故不存在满足条件的点M. …… 16分
41.【22嘉一&南模20】为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.
构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.
（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积：
（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
参考公式：三元均值不等式及变形，当且仅当时取得等号
【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）
【解析】（1）设四面体所在长方体的棱长分别为、、，
则，解得，所以四面体的体积.
（2）在四面体中，因为，，，
所以四面体的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可.
设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，
所以，，，
所以为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）当2条长为的线段不在同一个三角形中，
如图，不妨设，，取的中点，
连接、，
则，，而，所以平面，则三棱锥的体积，
在中，，，
，
所以
因为，所以.
当且仅当，即时取等号，
故时，构成的三棱锥体积最大，最大值为.
42.【22长宁区21】（第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，共14分）
在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至.
（1）指出二面角的平面角，并说明理由；
（2）若，求证：平面平面；
（3）若是线段的中点，求证：直线平面.
【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解
43.【22金山区21】如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）求证：为正四面体；（2）若，求二面角的大小；
（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）存在，详见解析
【解析】（1）因为棱台与棱锥的棱长和相等，
所以
，
故. …… 2分
又因为截面底面ABC，所以，，
从而，从而，故为正四面体. …… 4分
（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由，，
得平面PAM， …… 6分
而平面PAM，故，从而是二面角的平面角. …… 7分
由（1）得三棱锥的各棱长均为1，所以. 由D是PA的中点，得.
在Rt△ADM中，，故二面角的大小为. …… 10分
（3）存在满足条件的直四棱柱. …… 11分
棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，
则该四棱柱的棱长和为6，体积为. …… 13分
因为正四面体的体积是， …… 15分
所以，，从而， …… 17分
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件. …… 18分一、立体几何&空间向量
【知识梳理】
1. 4公理3推论
2. 点线面位置关系：（1）线线；（2）线面；（3）面面
3. 空间角：（1）线线角（平移，建系）；（2）线面角（定义，三垂线）；（3）二面角（定义，三垂线）
4. 空间距离：（1）点面距离（等体积法，建系法）；（2）线面距离；（3）异面直线距离
5. 多面体：（1）棱柱；（2）棱锥
6. 旋转体：（1）圆柱；（2）圆锥；（3）球
7. 空间向量：（1）运算；（2）基本定理；（3）坐标表示；（4）应用
【期末真题】
一、填空题
1.【22金山区2】半径为1的球的体积为________.
2.【22长宁区1】圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.
3.【22嘉一2】正方体中，、分别为、的中点，则与面所成的
角是 .
5.【22长宁区3】若球的大圆的面积为，则该球的表面积为__________.
5.【22金山区3】已知向量，向量，若，则实数的值为________.
6.【22嘉一3】已知三棱锥，、分别是对边、的中点，点在上，且，
设，，，则 （用表示）.
7.【22嘉一4】如图，在正方体中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角为 .
8.【22南模4】如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 .
9.【22金山区5】在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为________.
10.【22长宁区5】正四棱锥底面边长和高均为分别是
其所在棱的中点，则棱台的体积为__________.
11.【22南模5】已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为 .
12.【22金山区6】将边长为2的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为________.
13.【22南模6】图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，
图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三
个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为 .
14.【22金山区7】生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.这个经验用我们所学的数学公理可以表述为 .
15.【22嘉一7】对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点： ②三条直线两两平行；
③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.
其中，使三条直线共面的充分条件有 .
16.【22长宁区8】如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是__________.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
17.【22交附8】如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为________.
18.【22嘉一9】棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，、分别是棱、的中点，则直线被球截得的线段长为 .
19.【22南模9】已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是 .
20.【22长宁区10】已知平面和两条不同的直线，则下列判断中佂确的序号是 .
①若，则； ②，则；
③若，则； ④，则；
21.【22金山区11】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数为______.
【22南模11】如图，是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为.
其中正确的结论是 .（要求填上所有正确结论的序号）
23.【22长宁区12】已知直线和平面，且；
①若异面，则至少有一个与相交；②若垂直，则至少有一个与垂直；
对于以上命题中，所有正确的序号是__________.
24.【22金山区12】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.
二、选择题
25.【22嘉一13】已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法：
①若垂直于内两条相交直线，则；②若且，则；
③若，则； ④若且，则.
其中正确的序号是
A.①③ B.①②③
C.①③④ D.②④
26.【22南模13】若两条异面直线，外的任意一点，则
A.过点有且仅有一条直线与都平行
B.过点有且仅有一条直线与都垂直
C.过点有且仅有一条直线与都相交
D.过点有且仅有一条直线与都异面
27.【22长宁区14】已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A.若，则存在无数条直线，使得
B.若，则存在无数条直线，使得
C.若存在无数条直线，使得，则
D.若存在无数条直线，使得，则
28.【22金山区14】设是两个不同的平面，是一条直线，则以下命题正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
29.【22南模15】空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
30.【22长宁区16】在三棱锥中，平面；记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B.
C. D.
31.【22南模16】上海体育场（Shanghai Stadium），又称“上海八万人体育场”. 上海体育场正在进行改建，改建后的上海体育场将成为全国建设标准最高的体育场之一. 改建中显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.
给出下列三个结论：
①正方体各顶点的曲率为；
②任意三棱锥的总曲率均为；
③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为.
其中，所有正确结论的序号是
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
32.【22嘉一16】如图，已知正方体的棱长为为正方体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积为，则点的轨迹长度为
A. B.
C. D.
三、解答题
33.【22长宁区17】（第1小题4分，第2小题4分，共8分）
如图，底面是矩形的直棱柱中，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
34.【22嘉一17】如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角.
35.【22南模17】如图，在直三棱柱中，.
（1）若，求证：平面；
（2）若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.
36.【22交附17】如图，在直三棱柱中，，，.
（1）求三棱柱的表面积S；
（2）求异面直线与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）.
37.【22金山区18】如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点.
（1）求以为顶点的四面体的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
38.【22长宁区19】（第1小题4分，第2小题6分，共10分）
已知是边长为2的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱.
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形绕顺时针旋转至，求异面直线与所成角的大小.
39.【22金山区19】如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求证：直线平面.
40.【22金山区20】如图，在直棱柱中，已知，点分别是的中点.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
41.【22嘉一&南模20】为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.
构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.
（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积：
（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
参考公式：三元均值不等式及变形，当且仅当时取得等号
42.【22长宁区21】（第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分，共14分）
在矩形中，是的中点，是上，，且，如图，将沿折起至.
（1）指出二面角的平面角，并说明理由；
（2）若，求证：平面平面；
（3）若是线段的中点，求证：直线平面.
43.【22金山区21】如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
（1）求证：为正四面体；
（2）若，求二面角的大小；
（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.
