24.2圆的基本性质（4） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
沪科版 九年级下册
24.2圆的基本性质(4)
教学目标： 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 　 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 　 其余各组量也相等．
教学重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
课件说明
　　圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
复习旧知
·
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.
学习新知
　　把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个圆也被分成了 360 份．
则每一份这样的弧叫做
1°的圆心角对着 1°的弧， 1°的弧对着 1°的圆心角.
这样，
1°的弧
1°
n°的弧
n°
1°弧．
n°的圆心角对着 n°的弧， n°的弧对着 n°的圆心角.
1°的弧
1°
n°的弧
n°
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
这四个量之间会有什么关系呢？
∠AOB
AB
AB
︵
弦心距
O
A
B
C
OC
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
AB=A1B1
︵
︵
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
C1
C
AB=A1B1，
︵
︵
OC=OC1
O
α
A
B
A1
B1
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.
圆心角定理
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____，所对的弧____，
所对的弦心距 ；
　　
　　同样，还可以得到：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___，所对的弦___；
　　
相等
相等
相等
相等
相等
所对的弦心距 ；
相等
在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等，那么它们所对的圆心角___，所对的弧___，
所对的弦 .
相等
相等
相等
同圆或等圆中，两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.
O
A1
B1
A
B
α
α
C
C1
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD，那么 ， ， ；
(2)如果OE=OF，那么 ， ， ；
(3)如果AB=CD，那么 ， ， ；
(4)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ，
A
B
C
D
E
F
O
.
AB=CD
︵
︵
∠AOB=∠COD
OE=OF
AB=CD
︵
︵
∠AOB=∠COD
AB=CD
∠AOB=∠COD
OE=OF
AB=CD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
︵
︵
O
B
C
A
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA.　　
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例4 已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.　　
求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.
连接OA，OB，OC，
=120°.
= ×360°
1
3
O
F
C
A
D
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的点，⊙O分别交∠A两边于点C，D和点E，F.　　
求证：CD=EF.
过点O作OK⊥CD、OK′⊥EF，
E
K′
K
∴ OK=OK′，
∴CD=EF.
证明：
垂足分别为K、K′.
∵点O是∠FAD平分线上的点，
O
E
C
A
D
B
例6 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB，CE为40°，求∠BOD的度数.　
解：
连接OE，
∵CE
︵
为40°，
∴∠COE=40°.
∵OC=OE，
∴∠C=
∵CE∥AB，
∴∠AOD=∠C=70°.
∴∠BOD=
∠AOB－ ∠AOD
=110°.
180°－40°
2
=70°.
　　2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
D
O
C
A
B
∵“∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD”，
︵
︵
这种说法对吗？
请说明理由.
这种说法不对.
结论成立的条件是：
在同圆或等圆中．
练习巩固
　　3.圆的一条弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角．
A
B
O
∴弦 AB 所对的劣弧为圆的　，　　　
解：
∴∠AOB=120°.
∵ OA=OB，
∴∠A=30°.
过点O作OE⊥AB于E，
∴AB=2AE
=
E
3 .
5
1
3
∴AB为120°，　
︵
答：弦长为 ，劣弧所对的圆心角为120°．
3
5
如图，
∵弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，
在Rt△OEA中，
∴AE=
cos∠OAB=
AE
OA
5cos30°
= 5×
2
3
=
3
5
2
解法2
　　3.圆的一条弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角．
A
B
O
∴弦 AB 所对的劣弧为圆的　，　　　
解：
∴∠AOB=120°.
∵ OA=OB，
∴∠A=30°.
过点O作OE⊥AB于E，
∴OE=2.5.　
∵ OA=5，
∴AE=
∴AB=2AE
=
E
OA2－OE2
=
52－2.52
=
3 .
5
1
3
∴AB为120°，　
︵
3
5
2
答：弦长为 ，劣弧所对的圆心角为120°．
3
5
如图，
∵弦把圆周分成度数比为1:2的两条弧，
　　(1)本节课学习了哪些内容？
　　(2)圆心角、弧、弦之间有哪些关系？
课堂小结
1.如图，在⊙O中，AB=AC， ∠AOB=100°，则∠AOC=( ).
︵
︵
B
A. 80° B. 100° C.40° D.50°
巩固提高
O
A
B
C
2.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE.若弦BE=3，则弦CE= .
O
B
C
D
A
E
3
3.如图，AB和CD是⊙O的两条弦，M，N分别是AB，CD的中点，且∠OMN= ∠ONM.
求证：AB=CD.
O
B
C
D
A
M
N
证明：
∵ M，N分别是AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，
ON⊥CD.
∴OM，ON 分别是弦AB，CD的弦心距.
∵∠OMN= ∠ONM，
∴OM= ON.
∴AB=CD.
今天作业
课本P25页第5、6题
谢谢
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